Circuit RL

Modèle:Ébauche Un circuit RL est un circuit électrique contenant une résistance et une bobine ; il est utilisé dans diverses applications, comme filtre passe-bas ou passe-haut, ou dans les convertisseurs de courant continu. Contenant deux composants, il se décline en deux versions différant dans la disposition des composantes (série ou parallèle).

Circuit série

Le circuit en série est analysé avec la loi des mailles pour donner :

Circuit RL série

$U=U_R+U_L$

Régime transitoire

Dans le régime transitoire :

$U_R=R_{t}I,U_L=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$

L'équation différentielle qui régit le circuit est alors la suivante :

$U=L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+R_{t}I$

Avec :

• Modèle:Mvar la tension aux bornes du montage, en V ;
• Modèle:Mvar l'intensité du courant électrique en A ;
• Modèle:Mvar l'inductance de la bobine en H ;
• Modèle:Mvar la résistance totale du circuit en Ω.

La solution générale, associée à la condition initiale Modèle:Math, est :

$I_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}}=\frac{U}{R_t}(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }})$

$\tau =\frac{L}{R_t}$

Avec Modèle:Mvar la constante de temps du circuit, en s.

C'est la constante de temps Modèle:Mvar qui caractérise la « durée » du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1 % près au bout d'une durée de $4.6\tau$.

Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en Modèle:Mvar car Modèle:Math.

Régime sinusoïdal permanent

Dans une analyse spectrale en régime sinusoïdal permanent, il faut considérer les impédances des composants en fonction de la pulsation :

$Z_R(\omega )=R,Z_L(\omega )=jL\omega =2\pi jLf$

où Modèle:Mvar est la pulsation en rad.s^-1, Modèle:Mvar est la fréquence en s^-1 et Modèle:Mvar désigne l'unité imaginaire, telle que Modèle:Math.

On pose U_e = U la tension entrant dans le quadripôle et U_s la tension sortant du quadripôle. On a deux possibilités pour l'expression de U_s :

$U_s=U_R=\frac{Z_R}{Z_R+Z_L}{U}_e=\frac{R}{R+jL\omega }{U}_e$

$U_s=U_L=\frac{Z_L}{Z_R+Z_L}{U}_e=\frac{jL\omega }{R+jL\omega }{U}_e$

On note H_R(ω) et H_L(ω) les fonctions de transfert de chaque cas respectif.

Analyse fréquentielle

$H_L(\omega )=\frac{V_L(\omega )}{U_e(\omega )}=\frac{j\frac{L}{R}\omega }{1+j\frac{L}{R}\omega }$

La fonction de transfert peut s'écrire $H_L(\omega )=G_L{\mathrm{e}}^{j{\phi }_L}$ où Modèle:Mvar est le gain et Modèle:Mvar, la phase.

Ainsi, $H_L(\omega )=G_L{\mathrm{e}}^{j{\phi }_L}$avec :

$G_L=\frac{\frac{L}{R}\omega }{\sqrt{1+(\frac{L}{R}\omega {)}^2}}$

${\phi }_L=\arg (H)=\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\frac{L}{R}\omega \right)$

Quand Modèle:Mvar tend vers 0 :

$H_L\approx j\frac{L}{R}\omega \text{donc}{G}_L\to 0\text{et}{\phi }_L\to \frac{\pi }{2}$

Quand Modèle:Mvar tend vers l'infini :

$G_L\to 1\text{et}{\phi }_L\to 0$

Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur la bobine le comportement est du type filtre passe-haut : les basses fréquences sont atténuées et les hautes fréquences passent.

La fréquence de coupure $f_c$ d'un circuit est la fréquence pour laquelle le gain en tension vaut :$\frac{1}{\sqrt{2}}$, soit Modèle:Unité. Cette fréquence est égale à :

$f_c=\frac{R}{2\pi L}$ (en Hz)

Voir aussi

• Circuit RC
• Circuit RLC
• Circuit LC