Distance entre deux points sur le plan cartésien

Utilisation du théorème de Pythagore pour calculer la distance euclidienne entre deux points du plan.

Dans le plan cartésien, les points sont définis à l'aide de leurs coordonnées cartésiennes.

Soient $A$ et $B$ deux points dans le plan cartésien, $(x_A,y_A)$ les coordonnées du point $A$ et $(x_B,y_B)$ les coordonnées du point $B$. Alors la distance $AB$ sur le plan vaut :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$

Démonstration

Soit $C$ le point de coordonnées $(x_A,y_B)$.

$x_A=x_C\Rightarrow AC=|y_C-y_A|$ et $(AC)$ est verticale ;

$y_B=y_C\Rightarrow BC=|x_C-x_B|$ et $(BC)$ est horizontale ;

donc $(AC)\perp (BC)$.

D'après le théorème de Pythagore,

$\begin{array}{cc}A{B}^2& =B{C}^2+A{C}^2\\ & =|x_C-x_B{|}^2+|y_C-y_A{|}^2\\ & =|x_A-x_B{|}^2+|y_B-y_A{|}^2\\ & =(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2\end{array}$

donc

$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$

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