Identités logarithmiques

Cet article dresse une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes.

Ces identités sont toutes valables à condition que les réels utilisés ($a$, $b$, $c$ et $d$) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Valeurs particulières

Pour toute base $a$, on a :

• ${\log }_{a}1=0$.
• ${\log }_{a}a=1$.

Logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une exponentiation

Par définition des logarithmes, on a :

• ${\log }_c(ab)={\log }_{c}a+{\log }_{c}b$.
• ${\log }_c\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{c}a-{\log }_{c}b$.
• $\mathrm{\forall }x\in ℝ{\log }_c(a^x)=x{\log }_{c}a$.

Ces trois identités permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, il est possible de les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Logarithme d'une somme

En partant des égalités $a+b=a(1+\frac{b}{a})=ab\left(\frac{a+b}{ab}\right)$, et en utilisant les propriétés du logarithme d'un produit, on aboutit aux résultats ci-dessous. Modèle:Refnec.

• ${\log }_c(a+b)={\log }_{c}a+{\log }_{c}b-{\log }_c\left(\frac{ab}{a+b}\right)$
• ${\log }_c(a+b)={\log }_{c}a+{\log }_c(1+\frac{b}{a})$

Réciprocité

• $a^{{\log }_{a}b}=b$.
• $\mathrm{\forall }x\in ℝ$, ${\log }_a(a^x)=x$.

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base

Relation de type Chasles :

${\log }_{a}c={\log }_{a}b\times {\log }_{b}c$

Et en particulier (pour Modèle:Math), ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$.

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux (de base 10) et naturels (de base e).

On en déduit :

$\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_{c}d\times {\log }_{d}b}{{\log }_{c}d\times {\log }_{d}a}=\frac{{\log }_{d}b}{{\log }_{d}a}$.

Limites

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$ pour $a>1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }$ pour $a<1$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }$ pour $a>1$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$ pour $a<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^b{\log }_{a}x=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\log }_{a}x}{x^b}=0$

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

Dérivée

$\mathrm{\forall }x>0\log {\text{'}}_a(x)=\frac{1}{x\ln a}$

donc dans le cas particulier de la base [[e (nombre)|Modèle:Math]] :

${\ln }^{\prime }x=\frac{1}{x}$.

Primitive

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}{\log }_{a}t\mathrm{d}t={\left[t({\log }_{a}t-\frac{1}{\ln a})\right]}_{x_0}^x$

donc dans le cas particulier de la base Modèle:Math :

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\ln t\mathrm{d}t={\left[t(\ln t-1)\right]}_{x_0}^x$.