Fonction bêta

Variations de la fonction bêta pour les valeurs positives de x et y

En mathématiques, la fonction bêta est une des deux intégrales d'Euler, définie pour tous nombres complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de parties réelles strictement positives par :

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t,$

et éventuellement prolongée analytiquement à tout le plan complexe à l'exception des entiers négatifs.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction gamma.

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable Modèle:Math prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$.

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta \mathrm{d}\theta$ (par le changement de variable $t={\sin }^2\theta$),

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{s^{y-1}}{(1+s{)}^{x+y}}\mathrm{d}s$ (par le changement de variable $t=\frac{1}{1+s}$).

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

$\mathrm{B}(x,y+1)=\frac{y}{x+y}\mathrm{B}(x,y)$,

$\mathrm{B}(x,y)\mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)}$,

$\mathrm{B}(x,x)=2^{1-2x}\mathrm{B}(\frac{1}{2},x)$.

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante :

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$.

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial : Modèle:Retrait

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux rationnels et si ni Modèle:Mvar, ni Modèle:Mvar, ni Modèle:Math ne sont entiers, alors Modèle:Math est un nombre transcendant.

Dérivation

Les dérivées partielles de la fonction bêta utilisent les équations fonctionnelles vues précédemment :

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),$

$\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\psi (y)-\psi (x+y))$

où Modèle:Math est la fonction digamma.

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)[(\psi (x)-\psi (x+y){)}^2+({\psi }_1(x)-{\psi }_1(x+y))],$

$\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)[(\psi (x)-\psi (x+y))(\psi (y)-\psi (x+y))-{\psi }_1(x+y)],$

où Modèle:Math est la fonction polygamma.

Fonction bêta incomplète

La fonction bêta incomplète est définie par :

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}\mathrm{d}t$

et vérifie trivialement :

Pour Modèle:Math, elle correspond à la fonction bêta de paramètres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}.$

Les relations précédentes deviennent ainsi

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale : Modèle:Retrait