Théorème d'Erdős-Suranyi
Modèle:Voir homonymes En théorie des nombres, le théorème d'Erdős-Surányi[1]Modèle:,[2] établit que tout entier n s'écrit, d'une infinité de façons, sous la forme :
Démonstration
On vérifie aisément que mModèle:2 – (m + 1)Modèle:2 – (m + 2)Modèle:2 + (m + 3)Modèle:2 est indépendant de m et vaut 4. Il suffit alors de trouver pour 0, 1, 2 et 3 des décompositions modulo 4, par exemple :
On obtient ainsi un début de décomposition de n, de la forme Modèle:Retrait (dont tous les termes — en particulier N — dépendent du reste r de la division euclidienne de n par 4 et du choix d'une décomposition de r modulo 4). Il suffit alors de remplacer 4q = ±4|q| par |q| décompositions consécutives de ±4 du type Modèle:Nobr partant de m = N + 1. À partir d'une décomposition de n, on peut toujours en construire une plus longue, en ajoutant de même deux décompositions consécutives de 4 et –4.
Exemple : pour n = 9, congru à 1 modulo 4, on trouve ainsi : Modèle:Retrait
mais on a aussi :
ce qui montre que l'algorithme n'est pas optimal d'un point de vue longueur.
Généralisations
Bleicher[2] a remplacé l'exposant 2 par n'importe quel exposant p positif : tout entier n peut s'écrire d'une infinité de façons sous la forme :
Exemples :
De manière apparemment indépendante[3], Bodini Modèle:Et al.[4] et Yu[5] ont étendu ce résultat en remplaçant kModèle:Exp par f(k), où f est n'importe quel polynôme à valeurs entières dont le PGCD des valeurs est égal à 1.
Boulanger et Chabert[3] l'ont encore étendu, en remplaçant de plus l'anneau des entiers relatifs par celui des entiers d'un corps cyclotomique (et ±1 par les racines de l'unité dans ce corps).
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
- ↑ Modèle:Ouvrage, ex. 15.
- ↑ 2,0 et 2,1 Modèle:Article.
- ↑ 3,0 et 3,1 Modèle:Article.
- ↑ Olivier Bodini, Pierre Duchet et Sandrine Lefranc, « Autour d'un théorème d'Erdős sur les combinaisons à coefficients + ou -1 des premiers carrés », RMS, vol. 112, 2001, Modèle:P..
- ↑ Modèle:Article.