Hiérarchie (mathématiques)

On considère un ensemble $\mathrm{\Omega }=(x_1,\dots ,x_n)$ d'individus et un ensemble $H=\{H_1,\dots ,H_g\}$ de parties de $\mathrm{\Omega }$. H est une hiérarchie sur $\mathrm{\Omega }$ si et seulement si :

• $\mathrm{\varnothing }\in H$.
• quel que soit i, $\{x_i\}\in H$.
• $\mathrm{\Omega }\in H$.
• quels que soient k et $\ell$, $H_k\cap H_{\ell }=\mathrm{\varnothing }$ ou $H_k\subset H_{\ell }$ ou $H_{\ell }\subset H_k$.

Par exemple, pour un ensemble $\mathrm{\Omega }=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ l'ensemble

$H=\{\mathrm{\varnothing },\{x_1\},\{x_2\},\{x_3\},\{x_4\},\{x_1,x_2\},\{x_3,x_4\},\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\}$

est une hiérarchie.

Indice sur une hiérarchie

On appelle indice sur un hiérarchie H de $\mathrm{\Omega }$ une fonction i de $H\mathrm{\setminus }\left\{\mathrm{\varnothing }\right\}$ dans ${ℝ}^{+}$ vérifiant les propriétés :

• si $H_k\subset H_{\ell }$ et $k\ne \ell$, alors, $i(H_k)<i(H_{\ell })$.
• quel que soit $x_i$ de $\mathrm{\Omega }$, $i(\{x_i\})=0$.

Le couple $(H,i)$ est alors appelé hiérarchie indexée.

Dans le cas de données continues, la fonction d'inertie définit un indice. En considérant l'exemple précédent et en considérant que les points $x_i$ sont des points de ${ℝ}^2$ de coordonnées

• $x_1=(1,0)$
• $x_2=(1,0.5)$
• $x_3=(2,2)$
• $x_4=(2,2.2)$

La fonction d'inertie prend les valeurs suivantes :

• $i(\{x_1\})=0$
• $i(\{x_2\})=0$
• $i(\{x_3\})=0$
• $i(\{x_4\})=0$
• $i(\{x_1,x_2\})=1.125$
• $i(\{x_3,x_4\})=0.2$
• $i(\{x_1,x_2,x_3,x_4\})=4.5674$

Une telle hiérarchie peut être représentée par le dendrogramme suivant :