Théorème de de Gua

Tétraèdre trirectangle en O.

En mathématiques, le théorème de de Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. Jean-Paul de Gua de Malves le démontre en 1783 en utilisant les formules de Héron d'Alexandrie.

Énoncé

Soit Modèle:Mvar un tétraèdre trirectangle en Modèle:Mvar.

Le carré de l'aire de la face Modèle:Mvar est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

${𝒜}_{ABC}^2={𝒜}_{ABO}^2+{𝒜}_{ACO}^2+{𝒜}_{BCO}^2$

Démonstration

Notons Modèle:Mvar les longueurs respectives des arêtes Modèle:Mvar.

Soit $A=(a,0,0)$(etc.) dans le repère $(O,i,j,k)$ avec $i=\frac{\overrightarrow{OA}}{a}$(etc.) Utilisons alors le produit vectoriel et son interprétation en termes d'aire. Alors $||\overrightarrow{BC}\wedge \overrightarrow{BA}|{|}^2=a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2$ d'où la formule.

Extension

La formule s'étend aux dimensions supérieures, ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes dès 1619-1623.