Approximation des régimes quasi stationnaires

En électromagnétisme, l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS, on parle aussi d'ARQP pour « permanents » au lieu de « stationnaires ») consiste à considérer comme négligeable le temps de propagation des ondes électromagnétiques (OEM) devant la période du signal.

Ainsi, pour une onde électromagnétique sinusoïdale de période temporelle T et de période spatiale $\lambda$, telle que $\lambda =c.T$ (où $c$ désigne la vitesse de l'onde), et pour un observateur situé à une distance $D$ d'un point quelconque du circuit, on est dans le cadre de l'ARQS si $D\ll \lambda .$

Exemples

Soit un émetteur grandes ondes de fréquence $f=180\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{z}$ ($T=5,6\mu \mathrm{s}$).

• Soit un récepteur situé à une distance $D=10\mathrm{c}\mathrm{m}$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera $\mathrm{\Delta }t=D/c=0,33\mathrm{n}\mathrm{s}$. $\mathrm{\Delta }t\ll T,$ donc l'approximation est valable.
• Soit un récepteur situé à une distance $D=1\mathrm{k}\mathrm{m}$ de l'émetteur. Alors, le temps de propagation sera $\mathrm{\Delta }t=D/c=3,3\mu \mathrm{s}$. $\mathrm{\Delta }t$ n'est plus du tout négligeable devant $T$, l'approximation n'est donc plus valable.

Conséquence dans l'écriture des équations de Maxwell

L'équation de Maxwell-Ampère :

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

en régime variable, donne le rotationnel du vecteur champ magnétique comme une somme de deux termes.

Or, dans l'ARQS (c'est-à-dire quand la fréquence est assez faible pour une dimension de circuit donnée), le second terme ${\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$ est en général négligeable devant le premier ${\mu }_0\overrightarrow{j}$ (l'exception la plus courante concerne l'espace inter-armatures d'un condensateur, dans lequel $\overrightarrow{j}$ est nul).

L'équation de Maxwell-Ampère devient

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{j}$.

Conséquence pratique : loi des nœuds ou première loi de Kirchhoff

Si on applique l'opérateur divergence à l'équation de Maxwell-Ampère, on obtient :

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{B}\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}({\mu }_0\overrightarrow{j})$.

Ce qui, selon les règles de l'analyse vectorielle, donne :

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{j}=0$.

On applique ensuite le théorème de Green-Ostrogradski :

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\tau ={\text{∯}}_S\overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=I_{\text{à travers la surface fermée}}=0$.

La somme algébrique des intensités passant par un nœud est donc nulle. Ainsi, la loi des nœuds reste valable dans l'approximation des régimes quasi stationnaires.