Nombre de Carol

En mathématiques récréatives, le Modèle:Math-ième nombre de Carol (où Modèle:Math est un entier strictement positif) est l'entier Modèle:Centrer

L'amateur qui les étudie, Cletus Emmanuel, leur a donné le nom d'une amie, Carol G. Kirnon.

Propriétés

Les dix premiers nombres de Carol (Modèle:OEIS) sont

–1, 7, 47, 223, 959, 3 967, 16 127, 65 023, 261 119 et 1 046 527.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

–1, 0, –2, –1, 0, –2, –1, 0, –2Modèle:Etc.

donc pour tout entier Modèle:Math, le (Modèle:Math)-ième nombre de Carol n'est pas premier.

Le Modèle:Math-ième nombre de Carol est égal à Modèle:Math, ainsi qu'à Modèle:Math.

Sa représentation binaire si Modèle:Math est, de gauche à droite, (Modèle:Math) uns consécutifs, un zéro au milieu, puis (Modèle:Math) uns consécutifs, puisque

$2^{2n}-1-2^{n+1}=\sum _{0\le k\le 2n-1,k\ne n+1}{2}^k.$

Par exemple, le troisième nombre de Carol (47) s'écrit 101111 en binaire et le quatrième (223) s'écrit 11011111.

Nombres de Carol premiers

Les dix plus petits nombres de Carol premiers (suite Modèle:OEIS2C) et leurs indices (suite Modèle:OEIS2C) sont :

indice n	2	3	4	6	7	10	12	15	18	19
nombre de Carol premier	7	47	223	3 967	16 127	1 046 527	16 769 023	1 073 676 287	68 718 952 447	274 876 858 367

Le plus grand nombre de Carol premier connu est le nombre de Carol d'indice 253 987, qui a Modèle:Unité. Il a été trouvé par Cletus Emmanuel en 2007 en utilisant les programmes MultiSieve et PrimeFormGW. C'est le Modèle:40e de Carol premier.