Règles de Bioche

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les règles de Bioche sont des règles de changement de variable dans le calcul d'intégrales comportant des fonctions trigonométriques.

Les règles et leur justification

Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu'il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, Modèle:Math est une expression rationnelle en Modèle:Math et Modèle:Math, c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de Modèle:Math, Modèle:Math, des nombres réels et les quatre opérations Modèle:Math ; on peut encore écrire $f(t)=\frac{P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}$, où P et Q sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.

Ainsi, pour calculer $\int f(t)\mathrm{d}t$, on forme l'intégrande : Modèle:Math. Ensuite,

• si Modèle:Math, un changement de variable judicieux est Modèle:Math ;
• si Modèle:Math, un changement de variable judicieux est Modèle:Math ;
• si Modèle:Math, un changement de variable judicieux est Modèle:Math ;
• si deux des trois relations précédentes sont vraies (dans ce cas les trois relations sont vraies), un changement de variable judicieux est Modèle:Math ;
• dans les autres cas, le changement de variable Modèle:Math s'avère souvent judicieux (voir « Formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié »).

Modèle:Voir autre projet

D'un point de vue mnémotechnique, ces règles sont peut-être plus simples à retenir sous cette première forme. Mais on les trouve souvent exposées plutôt par rapport à Modèle:Mvar, ce qui donne respectivement pour les deux premières (en tenant compte du fait que Modèle:Math) :

• « si Modèle:Mvar est impaire, utiliser x = cos t »
• « si Modèle:Mvar est telle que Modèle:Math, utiliser Modèle:Math ».

Ces règles peuvent en fait être énoncées comme un théorème : on démontre que le changement de variable proposé conduit (si la règle s'applique, et si Modèle:Mvar est bien de la forme $f(t)=\frac{P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)}$) à l'intégration d'une fraction rationnelle en la nouvelle variable, qui se calcule par décomposition en éléments simples.

Cas des polynômes

Pour calculer l'intégrale $\int {\sin }^p(t){\cos }^q(t)\mathrm{d}t$, la règle de Bioche s'applique également.

• Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont impairs, on emploie Modèle:Math ;
• Si Modèle:Mvar est impair et Modèle:Mvar pair, on emploie Modèle:Math ;
• Si Modèle:Mvar est pair et Modèle:Mvar impair, on emploie Modèle:Math ;
• Sinon, on en est réduit à linéariser.

Autre version pour les fonctions hyperboliques

Soit à calculer $\int g(\cosh t,\sinh t)\mathrm{d}t$.

Si les règles de Bioche suggèrent de calculer $\int g(\cos t,\sin t)\mathrm{d}t$ par Modèle:Math (resp. Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math), dans le cas de cosinus et sinus hyperboliques un changement de variable judicieux est Modèle:Math (resp. Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math).

Dans tous les cas, le changement de variable Modèle:Math permet de se ramener à une primitive de fraction rationnelle, ce dernier changement de variable étant plus intéressant dans le quatrième cas (Modèle:Math).