Algèbre normée

Modèle:Voir homonymes Modèle:À sourcer Une algèbre normée est une algèbre A sur le corps des réels ou des complexes munie d'une norme d'espace vectoriel qui vérifie :

$\mathrm{\forall }x,y\in A\Vert xy\Vert \le \Vert x\Vert \Vert y\Vert .$

En d'autres termes, il s'agit d'une algèbre sur K = R ou C telle que l'espace vectoriel sous-jacent soit normé, la norme étant en outre sous-multiplicative.

Dans une algèbre normée unifère A non nulle, l'élément unité peut toujours être supposé de norme 1, quitte à remplacer la norme $x\mapsto \Vert x\Vert$ par la norme équivalente d'algèbre $x\mapsto \underset{\Vert y\Vert =1}{\sup }\Vert xy\Vert$.

Unitarisée d'une algèbre normée

Toute K-algèbre normée A est un idéal fermé de son « unitarisée » : l'algèbre normée unitaire définie par la norme et le produit suivants sur A ⊕ K : Modèle:Retrait (on peut remplacer cette norme par une norme équivalente d'algèbre, comme $\max (\Vert a\Vert ,|\lambda |)$).

L'algèbre unitarisée d'une algèbre de Banach est de Banach.

L'unitarisée d'une C*-algèbre est une C*-algèbre, pour l'involution naturelle et la norme $\Vert (a,\lambda )\Vert =\underset{b\in A,\Vert b\Vert \le 1}{\sup }\Vert ab+\lambda b\Vert$. Par exemple, si X est un espace localement compact, l'unitarisée de la C*-algèbre commutative CModèle:Ind(X) des fonctions scalaires continues sur X nulles à l'infini (munie de la norme de la convergence uniforme) est l'algèbre C(XModèle:Exp) des fonctions continues sur son compactifié d'Alexandrov. Par exemple : l'unitarisée de CModèle:Ind(ℝModèle:Exp) est C([[n-sphère|SModèle:Exp]]).

Articles connexes

• Norme matricielle
• Norme d'opérateur