Contraction du symbole de Christoffel

La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2\det g}{\partial }_j(\det g)=\frac{1}{\sqrt{\det g}}{\partial }_j\sqrt{\det g}={\partial }_j(\ln \sqrt{\det g})$

Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}(g_{lj,i}+g_{li,j}-g_{ij,l})$,

et profitant de la symétrie du tenseur métrique

$g_{li}=g_{il}$

on a

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2}(g^{il}{g}_{lj,i}+g^{il}{g}_{il,j}-g^{il}{g}_{ij,l})$.

Échangeant $i$ et $l$ des produits internes du dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2}{g}^{il}{g}_{il,j}$.

D'autre part la différentielle du déterminant $\det g$ s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle $\mathrm{d}{g}_{ij}$ d'un élément de matrice $g_{ij}$ par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice $g^{ij}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{ij}$, les mineurs cherchés sont $(\det g)g^{ij}$. Ainsi $\mathrm{d}(\det g)=(\det g)g^{ij}\mathrm{d}{g}_{ij}$ et donc

$g^{ij}{\partial }_k\left(g_{ij}\right)=\frac{1}{g}{\partial }_k(\det g)$

On a donc

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^i=\frac{1}{2g}{\partial }_j(\det g)$.

Remarques

• Le symbole de Christoffel étant symétrique, on a ${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{ij}={\mathrm{\Gamma }}^i{}_{ji}$

• Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs.