Faisceau injectif

En mathématiques, un faisceau injectif est un Modèle:Lien d'une catégorie abélienne de faisceaux.

Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique $X$ fixé, un faisceau $I$ est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau $A$ d'un faisceau $B$, tout morphisme injectif de $A$ dans $I$ se prolonge en un morphisme de $B$ dans $I$. Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche $Ho{m}_{Faisc(X)}(\mathrm{\_},I)$ est exact.

Propriétés

Modèle:Théorème On en déduit immédiatement : Modèle:Théorème

Preuve du lemme

• Pour tout point $x$ de $X$, il existe un plongement de la fibre $F_x$ dans un groupe abélien injectif $I_x$. Considérons le préfaisceau (qui est un faisceau) appelé faisceau gratte-ciel $I(x)$ et défini par :Modèle:Centrer Alternativement, si $\{x\}$ est fermé dans $X$ alors $I(x)={i_x}_{*}{I}_x$ avec $\{x\}\stackrel{i_x}{\hookrightarrow }X$ (plus généralement, $I(x)={i_{\overline{\{x\}}}}_{*}{I}_x$).

Pour tout faisceau $A$ de groupes abéliens, on a $Ho{m}_{Faisc(X)}(A,I(x))\cong Ho{m}_{\mathbb{Z}}(A_x,I_x)$. Il s'ensuit que $I(x)$ est un faisceau injectif.

• Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelleModèle:Centrerest un monomorphisme de $F$ dans un faisceau injectif.

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