Cohomologie des faisceaux

Les groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines.

Formulation

Les groupes de cohomologie $H^k(X,ℱ)$ d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines :

$\dots \to \mathrm{\Gamma }(X,I^{k-1})\to \mathrm{\Gamma }(X,I^k)\to \mathrm{\Gamma }(X,I^{k+1})\to \dots$

où $ℱ\to I^{*}$ est une résolution injective du faisceau $ℱ$, et $\mathrm{\Gamma }(X,𝒜)$ désigne le groupe abélien des sections globales de $𝒜$. A unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie.

• Le zéroième groupe $H^0(X,ℱ)$ est canoniquement isomorphe à $\mathrm{\Gamma }(X,ℱ)$.
• $ℱ$ est dit acyclique si tous ses autres groupes de cohomologie sont triviaux.
• Tout morphisme $\mathrm{\Phi }:𝒜\to ℬ$ induit des homomorphismes de groupes abéliens canoniquement définis :

${\mathrm{\Phi }}_{*}:H^k(X,𝒜)\to H^k(X,ℬ)$