Fonction hypergéométrique

Graphe d'une fonction hypergéométrique dans le plan complexe.

En mathématiques, le terme de fonction hypergéométrique, parfois sous le nom « fonction hypergéométrique de Gauss », désigne généralement une fonction spéciale particulière, dépendant de trois paramètres Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, notée Modèle:Math, parfois notée sans indice quand il n'y a pas d'ambigüité, et qui s'exprime sous la forme de la série hypergéométrique (lorsque celle-ci converge). Selon les valeurs prises par les paramètres, cette fonction correspond à de nombreuses fonctions usuelles ou spéciales, notamment des polynômes orthogonaux. La fonction hypergéométrique est en fait un cas particulier de la fonction hypergéométrique généralisée Modèle:Math.

La fonction hypergéométrique est également solution d'une équation différentielle complexe linéaire du second ordre, dite hypergéométrique, comprenant trois points singuliers réguliers. Toute équation différentielle linéaire du second ordre comprenant également trois points singuliers réguliers peut se ramener à cette équation.

Aspects historiques

Le premier usage du terme « série hypergéométrique » est dû à John Wallis dans son ouvrage Modèle:Lang publié en 1656. Ce terme apparaît dans la scholie à la proposition 190 de son livre, où il considère des séries du type :

$1-1+2-6+24-120+...=0!-1!+2!-3!+4!-5!+...,$

dans lesquelles chaque terme, au lieu d'être multiplié par une « raison » constante comme dans la série géométrique usuelle, l'est par une valeur variant avec le terme considéré, d'où le qualificatif de « hypergéométrique », le préfixe d'origine grecque hyper- signifiant « supérieur à ».

Leonhard Euler a poursuivi l'étude de ce type de série, toutefois c'est à Gauss que l'on doit le premier traitement systématique de ce qui est appelée aujourd'hui la série hypergéométrique, et l'introduction de la notation Modèle:Math pour désigner la fonction correspondante, dite hypergéométrique.

Au cours du Modèle:S-, les études sur la fonction hypergéométrique se poursuivent, avec notamment les travaux de Ernst Kummer et de Bernhard Riemann, qui introduit et étudie l'équation différentielle qu'elle satisfait. Riemann montre notamment que l'équation différentielle dont est solution Modèle:Math, étudiée dans le plan complexe, peut être caractérisée par ses trois singularités régulières en Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math.

Définitions et propriétés générales

Classiquement, il est possible de définir Modèle:Math de deux façons, soit à partir de développement en série entière, qui constitue une série particulière dite hypergéométrique, soit à partir de l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 qu'elle vérifie.

Définition à partir de la série hypergéométrique

La fonction hypergéométrique peut être définie pour tout Modèle:Math par la série, dite hypergéométrique :

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_n}\frac{z^n}{n!}$.

La notation Modèle:Math représentant la factorielle croissante ou symbole de Pochhammer, donné par :

$(a{)}_n=\{\begin{array}{cc}1& \text{si}n=0\\ a(a+1)\cdots (a+n-1)& \text{si}n>0.\end{array}$

Les paramètres Modèle:Math sont en général complexes. Si Modèle:Mvar est un entier négatif ou nul, soit Modèle:Math avec Modèle:Math il est clair que Modèle:Math devient nul dès que Modèle:Math, donc la série est divergente.

Par ailleurs, de la même façon, la série ne comprend qu'un nombre fini de termes si Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar est un entier négatif. Dans ce cas, la fonction Modèle:Math se réduit à un polynôme. Par exemple, si $a=-m(m\in \mathbb{N})$ :

${}_2{F}_1(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^m(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})\frac{(b{)}_n}{(c{)}_n}{z}^n$.

L'équation différentielle hypergéométrique

La fonction hypergéométrique Modèle:Math est solution de l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre :

$z(1-z)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{z}^2}+[c-(a+b+1)z]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}-aby=0$.

Celle-ci comporte trois points singuliers réguliers en Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, et toute équation différentielle linéaire du second ordre ayant trois points singuliers réguliers peut être ramenée à cette équation.

La recherche d'une solution sous forme de série entières (méthode de Frobenius) de la forme $y(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ conduit à la relation de récurrence :

$c_{n+1}=\frac{(a+n)(b+n)}{(n+1)(c+n)}{c}_n$, pour tout $n\in \mathbb{N}$.

En fixant $c_0=1$, on obtient la série hypergéométrique ci-dessus.

Formule intégrale

La fonction Modèle:Math a plusieurs représentations intégrales, dont celle donnée par Euler en 1748 : Modèle:Math désignant la fonction bêta, si Modèle:Math alors

$\mathrm{B}(b,c-b){}_2{F}_1(a,b;c;z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{b-1}(1-x{)}^{c-b-1}(1-zx{)}^{-a}\mathrm{d}x$,

pour tout Modèle:Mvar tel que Modèle:Math, ou tel que Modèle:Math et que les deux membres convergent. Elle peut se démontrer en développant Modèle:Math par la formule du binôme généralisée puis en intégrant terme à terme.

Si de plus Modèle:Math, on en déduit (cas Modèle:Math) le théorème hypergéométrique de Gauss :

${}_2{F}_1(a,b;c;1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c-a-b)}{\mathrm{\Gamma }(c-a)\mathrm{\Gamma }(c-b)}$,

dont l'identité de Chu-Vandermonde est elle-même un cas particulier.

Cas particuliers

De nombreuses fonctions usuelles peuvent s'exprimer à partir de la fonction hypergéométrique, par exemple :

$(1-z{)}^{-a}={}_2{F}_1(a,b;b;z)$

$\frac{\ln (1+z)}{z}={}_2{F}_1(1,1;2;-z)$

$\frac{\arcsin z}{z}={}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2)={}_2{F}_1(1,1;\frac{3}{2};z^2)\sqrt{1-z^2}$

$\frac{\arctan z}{z}={}_2{F}_1(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^2)$.

La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) correspond à un cas limite (dégénéré) de la fonction hypergéométrique :

${}_1{F}_1(a;c;z)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_2{F}_1(a,b;c;b^{-1}z)$.

Plus précisément, cela revient à effectuer d'abord dans l'équation différentielle le changement de variable Modèle:Math. L'équation différentielle devient alors :

$x(1-\frac{x}{b})y^{″}+(c-\frac{a+1}{b}x-x)y^{\prime }-ay=0$,

laquelle admet toujours trois points singuliers réguliers en Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math : le point singulier régulier en Modèle:Math est en fait « déplacé » en Modèle:Math. Si l'on prend ensuite la limite quand Modèle:Math, il y a « confluence » des deux points singuliers réguliers en Modèle:Math et Modèle:Math, en un point singulier irrégulier en Modèle:Math, l'équation différentielle devenant à la limite :

$x{y}^{″}+(c-x)y^{\prime }-ay=0$,

dont la fonction hypergéométrique confluente Modèle:Math est une solution.

Les fonctions de Legendre sont solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre ayant 3 points singuliers réguliers ; par suite, elles peuvent s'exprimer en fonction de Modèle:Math de multiples façons, par exemple :

${}_2{F}_1(a,1-a;c;z)=\mathrm{\Gamma }(c)z^{\frac{1-c}{2}}(1-z{)}^{\frac{c-1}{2}}{P}_{-a}^{1-c}(1-2z)$.

Certains polynômes orthogonaux, dont les polynômes de Jacobi Modèle:Math et leurs cas particuliers les polynômes de Legendre, de Tchebychev et de Gegenbauer, peuvent s'écrire en termes de fonctions hypergéométriques en utilisant que

${}_2{F}_1(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)=\frac{n!}{(\alpha +1{)}_n}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)$.

D'autres polynômes qui sont des cas particuliers incluent les Modèle:Lien, de Meixner et Modèle:Lien.

Les fonctions modulaires elliptiques peuvent parfois s'exprimer comme fonctions réciproques d'un quotient de deux fonctions hypergéométriques dont les arguments Modèle:Math sont 1, 1/2, 1/3… ou 0. Par exemple, si

$\tau =\mathrm{i}\frac{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z)}{{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)}$

alors

$z={\kappa }^2(\tau )=\frac{{\theta }_2(\tau {)}^4}{{\theta }_3(\tau {)}^4}$

est une fonction modulaire elliptique de Modèle:Mvar.

Les fonctions bêta incomplètes Modèle:Math sont reliées par

$B_x(p,q)=\frac{x^p}{p}{}_2{F}_1(p,1-q;p+1;x)$.

Les intégrales elliptiques complètes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont données par

$K(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2),E(k)=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$.

Voir aussi

• Fonction hypergéometrique d'un argument matriciel
• Identité hypergéométrique

Bibliographie

• Paul Appell et Joseph Kampé de Fériet, Fonctions hypergéométriques et hypersphériques, Gauthier-Villars, Paris, 1926
• Daniel Duverney, Introduction aux fonctions hypergéométriques, Ellipses, 2020
• Édouard Goursat, Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelques fonctions qui s'y rattachent, coll. « Actualités scientifiques et industrielles » (n° 333), Hermann, 1936
• R. Groux et P. Soulat, Les fonctions spéciales vues par les problèmes, Éditions Cépaduès, 2009
• Joseph Kampé de Fériet, La fonction hypergéométrique, coll. « Mémorial des sciences mathématiques » (n° 85), Gauthier-Villars, 1937
• Pascal Maroni, Fonctions hypergéométriques - Fonctions de Bessel, Techniques de l'ingénieur, Document A160, 1997
• Alfred Pringsheim et Georg Faber, « Séries hypergéométriques », dans Jules Molk (éd.), Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, Modèle:Tome, vol. 2, Gauthier-Villars, 1911 (Fonctions de variables complexes, Modèle:P.)
• Modèle:En James B. Seaborn, Hypergeometric Functions and Their Applications, Texts in Applied Mathematics, vol. 8, Springer, 1991