Lemme de Kronecker

Le lemme de Kronecker est un résultat d'analyse concernant les séries de nombres réels.

Sa forme la plus connue, utilisée en particulier en probabilités dans une preuve classique de la loi des grands nombres, est la suivante :

Si la série de terme général $\frac{x_n}{n}$ converge alors $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k$ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Preuve

Notons $s_n:=\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{u}_k$ et $b_0:=0$. Une transformation d'Abel donne :

$\begin{array}{cc}\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^n{b}_k{u}_k& =\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^n{b}_k(s_k-s_{k+1})\\ & =\frac{1}{b_n}(\sum _{k=1}^n(b_k-b_{k-1})s_k-b_n{s}_{n+1})\\ & =\frac{1}{b_n}\sum _{k=1}^n(b_k-b_{k-1})s_k-s_{n+1}\end{array}$

Comme la suite $(s_n{)}_n$ tend vers 0, le second terme tend vers 0, et le premier aussi d'après le lemme de Cesàro généralisé.