Formule de Perron

Modèle:Voir homonymie En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la fonction sommatoire ($A(x)={\sum _{n\le x}}^{\star }a(n)$) d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse de la série de Dirichlet associée.

La formule de Perron

Soient Modèle:Math une fonction arithmétique et

$A(x)={\sum _{n\le x}}^{\star }a(n),$

où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand Modèle:Mvar est entier.
Nous supposons que la série de Dirichlet classique

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$

admet une abscisse de convergence simple finie σModèle:Ind.
Alors, la formule de Perron est : pour tous réels c > max(0, σModèle:Ind) et Modèle:Math > 0,

$A(x)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{c-\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\overset{c+\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\int }}f(s)\frac{x^s}{s}\mathrm{d}s,$

où l'intégrale est semi-convergente pour Modèle:Mvar non entier et converge en valeur principale pour Modèle:Mvar entier.

Formule de Perron pour une série de Dirichlet générale

Pour une série de Dirichlet générale, de la forme

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a(n){\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{n}s},$

on a de mêmeModèle:,Modèle:,, pour tous nombres réels c > max(0, σModèle:Ind) et Modèle:Math,

$\sum _{k=1}^{n}a(k)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }\underset{c-\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\overset{c+\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\int }}f(s)\frac{{\mathrm{e}}^{sy}}{s}\mathrm{d}s.$

Formules effectives

Première formule de Perron effective

Soit $f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$ pour $\sigma >{\sigma }_c$, d'abscisse de convergence absolue finie ${\sigma }_a$.

Alors on a, si $x\ge 1,T\ge 1,c>\max (0,{\sigma }_a),$

$\sum _{n\le x}a(n)=\frac{1}{2i\pi }\underset{c-\mathrm{i}T}{\overset{c+\mathrm{i}T}{\int }}f(u)\frac{x^u}{u}\mathrm{d}u+O\left(x^c\sum _{n\ge 1}\frac{|a_n|}{n^c(1+T|\ln (x/n)|)}\right).$

Seconde formule de Perron effective

Soit $f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}$ pour $\sigma >{\sigma }_c$, d'abscisse de convergence absolue finie ${\sigma }_a$, et où $|a_n|\le \psi (n),$ pour une fonction $\psi (n)$ croissante (au sens large).

On suppose de plus que, pour un nombre réel $\alpha \ge 0$,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|a(n)|}{n^{\sigma }}=O\left(\frac{1}{(\sigma -{\sigma }_a{)}^{\alpha }}\right)$ quand ${\sigma }_a<\sigma \le {\sigma }_a+1.$

Alors on a, si $x\ge 2,T\ge 2,\sigma \le {\sigma }_a,c:={\sigma }_a-\sigma +1/\ln x,$

$\sum _{n\le x}\frac{a(n)}{n^s}=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }\underset{c-\mathrm{i}T}{\overset{c+\mathrm{i}T}{\int }}f(u+s)\frac{x^u}{u}du+O(x^{{\sigma }_a-\sigma }\frac{(\ln x{)}^{\alpha }}{T}+\frac{\psi (2x)}{x^{\sigma }}(1+x\frac{\ln T}{T})).$

Preuves

Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidusModèle:,.

Il reste ensuite à multiplier par Modèle:Math et sommer sur Modèle:Mvar.

Une preuve de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque Modèle:Mvar est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue Modèle:Mvar de la série. Si on a seulement Modèle:Math, alors Modèle:Math et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.