Puissance extérieure

Modèle:À sourcer La puissance extérieure p-ième d'un module E (sur un anneau commutatif) est une construction en algèbre extérieure qui est une solution au problème suivant : existe-t-il un module M, le « plus petit » possible et une application canonique φ : E^p → M telle que pour toute application multilinéaire alternée f définie sur E^p à valeur dans un module F quelconque, il existe une unique application g linéaire définie sur M à valeurs dans F telle que $f=g\circ \phi$ ?

Construction du produit extérieur

On considère le produit tensoriel :

$\begin{array}{ccc}N={⨂}^{p}E& =& \underbrace{E{\otimes }_A\cdots {\otimes }_{A}E}\\ & & p\end{array}$

On sait que toute application multilinéaire $f:E^p\to F$ est en correspondance avec une application linéaire $h:N\to F$ telle que :

$\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_p)\in E^p,f(x_1,\dots ,x_p)=h(x_1\otimes \cdots \otimes x_p)$

Comme f est alternée, l'application h s'annule en tous les tenseurs décomposables $x_1\otimes \cdots \otimes x_p$ tels qu'il existe $i,j$ deux indices différents vérifiant $x_i=x_j$. Considérons le sous-module C de N engendré par les tenseurs de cette forme. Comme C est incluse dans le noyau de h, il existe une unique application multilinéaire g du module quotient N/C telle que :

$\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_p)\in E^p,g(\overline{x_1\otimes \cdots \otimes x_p})=h(x_1\otimes \cdots \otimes x_p)=f(x_1,\dots ,x_p)$

On appelle donc puissance extérieure le quotient N/C et on le note ${\bigwedge }^{p}E$. Si $(x_1,\dots ,x_p)\in E^p$, la classe de l'élément $x_1\otimes \cdots \otimes x_p$ se note $x_1\wedge \cdots \wedge x_p$ (au lieu de $\overline{x_1\otimes \cdots \otimes x_p}$ comme écrit précédemment).

Rang, dimension d'un produit extérieur

Lorsque E est un module libre de type fini sur un anneau commutatif A, il possède une base finie $(e_1,\dots e_n)$ et la famille suivante :

$F={(e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_p})}_{1\le i_1<\cdots <i_p\le n}$

est une base du produit extérieur ${\bigwedge }^{p}E$.

En particulier, on déduit le résultat suivant : deux bases finies $(e_i)$ et $(f_j)$ d'un module sur un anneau commutatif ont même longueur. En effet, soit n la longueur de l'une, et m la longueur de l'autre. Supposons n < m. Le produit extérieur ${\bigwedge }^{m}E$ est le module nul, car en utilisant la propriété précédente, on déduit que la famille vide est une base de ${\bigwedge }^{m}E$, par ailleurs, la famille réduite à un élément $(f_1\wedge \cdots \wedge f_m)$ est également une base. D'où la contradiction, donc $n\ge m$, par symétrie on déduit $m\ge n$, d'où n = m.