Distance interréticulaire

Un cristal contient une infinité de plans dans lesquels les atomes (ou les nœuds du réseau) sont arrangés périodiquement : ce sont les plans réticulaires, définis par leurs indices de Miller (hkl). Pour h, k et l donnés, il existe une infinité de plans parallèles entre eux et regroupés en une famille de plans réticulaires. La distance interréticulaire dModèle:Ind est la plus courte distance entre deux plans de la famille {hkl}.

L'ensemble des distances interréticulaires d'un cristal est directement mesurable par diffraction (de rayons X par exemple) grâce à la loi de Bragg et permet d'identifier le cristal en question par comparaison avec les banques de données existantes (Voir l'article Powder diffraction file).

Calcul de la distance interréticulaire

La distance interréticulaire dModèle:Ind est donnée par :

$d_{h k l} = \frac{1}{‖ \vec{H} ‖} = \frac{1}{\sqrt{{\vec{H}}^{T} G_{r} \vec{H}}}$

où :

GModèle:Ind est le tenseur métrique du réseau réciproque ;
$\vec{H} = h \vec{a_{r}} + k \vec{b_{r}} + l \vec{c_{r}}$ est le vecteur normal à un plan de la famille {hkl) ;
$\vec{a_{r}}$ , $\vec{b_{r}}$ et $\vec{c_{r}}$ sont les vecteurs de base du réseau réciproque ;
${\vec{H}}^{T}$ est la transposée du vecteur $\vec{H}$ .

Dans le cas général triclinique, le tenseur métrique réciproque s'écrit :

$G_{r} = [\begin{matrix} a_{r}^{2} & a_{r} b_{r} \cos γ_{r} & a_{r} c_{r} \cos β_{r} \\ a_{r} b_{r} \cos γ_{r} & b_{r}^{2} & b_{r} c_{r} \cos α_{r} \\ a_{r} c_{r} \cos β_{r} & b_{r} c_{r} \cos α_{r} & c_{r}^{2} \end{matrix}] = G^{- 1}$

où $a$ Modèle:Ind, $b$ Modèle:Ind, $c$ Modèle:Ind, $α$ Modèle:Ind, $β$ Modèle:Ind et $γ$ Modèle:Ind sont les paramètres de maille du réseau réciproque et G est le tenseur métrique du réseau direct. $α$ Modèle:Ind, $β$ Modèle:Ind et $γ$ Modèle:Ind sont les angles entre les directions portées par les vecteurs $b$ Modèle:Ind et $c$ Modèle:Ind ; $c$ Modèle:Ind et $a$ Modèle:Ind ; $a$ Modèle:Ind et $b$ Modèle:Ind respectivement.

On obtient ainsi :

$d_{h k l} = \frac{1}{\sqrt{h^{2} a_{r}^{2} + k^{2} b_{r}^{2} + l^{2} c_{r}^{2} + 2 h k a_{r} b_{r} \cos γ_{r} + 2 h l a_{r} c_{r} \cos β_{r} + 2 k l b_{r} c_{r} \cos α_{r}}}$

exprimé en fonction des paramètres de maille du réseau réciproque, ou

$d_{h k l} = \sqrt{\frac{1 - \cos^{2} α - \cos^{2} β - \cos^{2} γ + 2 \cos α . \cos β . \cos γ}{\frac{h^{2}}{a^{2}} \sin^{2} α + \frac{k^{2}}{b^{2}} \sin^{2} β + \frac{l^{2}}{c^{2}} \sin^{2} γ - \frac{2 k l}{b c} (\cos α - \cos β . \cos γ) - \frac{2 l h}{c a} (\cos β - \cos γ . \cos α) - \frac{2 h k}{a b} (\cos γ - \cos α . \cos β)}}$

exprimé en fonction des paramètres de maille du réseau direct.

Dans le cas cubique, cette formule se réduit à :

$d_{h k l} = \frac{a}{\sqrt{h^{2} + k^{2} + l^{2}}}$

Dans le cas tétragonal, cette formule se réduit à :

$d_{h k l} = \frac{a}{\sqrt{h^{2} + k^{2} + \frac{a^{2}}{c^{2}} l^{2}}}$

Dans le cas hexagonal, cette formule se réduit à :

$d_{h k l} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4}{3} \frac{h^{2} + k^{2} + h k}{a^{2}} + \frac{l^{2}}{c^{2}}}}$

Sources

Modèle:En X-Ray Diffraction by Polycrystalline Materials ; eds. Peiser HS, Rooksby HP, Wilson AJC ; The Institute of Physics, Chapman & Hall Ltd (1955), p. 42

Modèle:Portail

Distance interréticulaire

Calcul de la distance interréticulaire

Sources

Menu de navigation

Rechercher