Espace d'ordres

Un espace d’ordres est un concept mathématique qui généralise la notion d’ordre sur un ensemble. Il s’agit d’un couple formé d’un groupe multiplicatif d’exposant fini et d’un sous-ensemble fermé de son dual topologique qui vérifie certains axiomes.

Définitions

On se donne un groupe multiplicatif d'exposant $2$, c’est-à-dire $\mathrm{\forall }g\in G$, on a $g^2=1$ (on note $1$ le neutre).

On distingue un élément remarquable $-1$ de $G$, dit élément distingué. On munit $G$ de la topologie discrète.

On note $\hat{G}=Hom(G,ℂ)$ le groupe topologique dual de $G$, qui est compact.

Par la nilpotence des éléments de $G$ que $Hom(G,ℂ)=Hom(G,{\mathbb{Z}}_2)$ avec ${\mathbb{Z}}_2=\{1,-1\}$ vu comme groupe multiplicatif.

On se donne maintenant un sous-ensemble non vide $X\subset \hat{G}$.

Le couple $(X,G)$ est dit un pré-espace d'ordre si les trois axiomes suivants (« axiomes de Marshall ») sont vérifiés :

${𝒪}_1$ $X$ est un fermé de $\hat{G}$

${𝒪}_2$ $\sigma (-1)=-1,\mathrm{\forall }\sigma \in X$

${𝒪}_3$ $\sigma (g)=1,\mathrm{\forall }\sigma \in X\Rightarrow g=1$.

L'axiome ${𝒪}_3$ est dit axiome de séparation, i.e. $X$ sépare les éléments de $G$.

Exemples

Dans le cas où $G$ est le groupe multiplicatif ${\mathbb{Z}}_2=(\pm 1,\times )$.

L'unique pré-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial $E$ constitué d'un seul élément.

Bibliographie

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