Conjecture d'Elliott-Halberstam

En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle a été énoncée par Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam en 1968.

Notations

Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par Modèle:Math le [[Fonction de compte des nombres premiers|nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à Modèle:Math]]. Si Modèle:Math est un entier strictement positif et Modèle:Math est premier avec Modèle:Math, notons Modèle:Math le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à Modèle:Math qui sont [[Congruence sur les entiers|congrus à Modèle:Math modulo Modèle:Math]]. D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque Modèle:Math est premier avec Modèle:Math, on a :

$\pi (x;q,a)\sim \frac{\pi (x)}{\phi (q)}(x\to \mathrm{\infty }).$

On définit alors la fonction d'erreur

$E(x;q)=\underset{(a,q)=1}{\max }|\pi (x;q,a)-\frac{\pi (x)}{\phi (q)}|$

où le max est pris sur tous les Modèle:Math premiers avec Modèle:Math.

Énoncé

La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C , telle que pour tout Modèle:Math ≥ 2 :

$\sum _{1\le q\le x^{\theta }}E(x;q)\le \frac{Cx}{(\ln x{)}^A}.$

La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ].

Avancées

Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.

Pour les θ < Modèle:Frac, la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri et Askold Ivanovitch Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.

Conséquences de la conjecture

La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de Daniel Goldston, János Pintz et Cem YıldırımModèle:,Modèle:,, qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard a montré en Modèle:Date- que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le projet Polymath a montré qu'en supposant une version généralisée de EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.

Notes et références

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Mul A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934

Voir aussi

• Conjecture des nombres premiers jumeaux
• Modèle:Lien
• Théorème de Barban-Montgomery