Autocovariance

La fonction d'autocovariance d'un processus stochastique $X=\{X_t,t\in \mathbb{N}\}$ permet de caractériser les dépendances linéaires existant au sein de ce processus.

Si $X$ est un processus stationnaire au sens faible alors ${\mu }_t={\mu }_s$ et $\mathrm{Cov}(X_t,X_s)=\mathrm{Cov}(X_{t+k},X_{s+k})$ pour n'importe quels entiers naturels $t,s,k$. Dans ce cas $R(t,s)=R(|t-s|,0)$ et il suffit alors de définir les autocovariances par la fonction qui à tout $k\in \mathbb{Z}$ associe $\gamma (k)\equiv R(k,0)=\mathrm{Cov}(X_k,X_0)$. La fonction d'autocovariance apparaît alors comme la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. On appelle $\gamma (k)$ l'autocovariance d'ordre $k$.

Cette propriété résulte directement du fait que $\gamma (k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=\gamma (-k)$. Voir pour cette propriété Hamilton (1994, Modèle:P.).

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

• Bruit blanc
• Processus stationnaire
• Stationnarité d'une série temporelle