Transformée de Fourier-Mukai

La transformée de Fourier-Mukai est un analogue en géométrie algébrique de la transformée de Fourier usuelle utilisée en analyse. Elle a été introduite par Shigeru Mukai.

Définition

Soit $X$ une variété abélienne et $\hat{X}$ sa variété abélienne duale. On note $𝒫$ le fibré de Poincaré sur $X\times \hat{X}$, normalisé de façon à être trivial sur les fibres $X\times 0$ et $0\times \hat{X}$. Soient $p$ et $\hat{p}$ les projections canoniques.

Le foncteur de Fourier-Mukai est défini par :

$R𝒮:ℱ\in D(X)\mapsto R{\hat{p}}_{\ast }(p^{\ast }ℱ\otimes 𝒫)\in D(\hat{X})$

On a un foncteur similaire en sens inverse $R\widehat{𝒮}:D(\hat{X})\to D(X)$.

Propriétés

Soit $g$ la dimension de $X$.

On a une propriété d'involutivité :

$R𝒮\circ R\widehat{𝒮}=(-1{)}^{\ast }[-g]$

La transformée de Fourier-Mukai échange (au degré près) le produit de Pontryagin et le produit tensoriel :

$R𝒮(ℱ\ast 𝒢)=R𝒮(ℱ)\otimes R𝒮(𝒢)$

$R𝒮(ℱ\otimes 𝒢)=R𝒮(ℱ)\ast R𝒮(𝒢)[g]$

Références

• Shigeru Mukai, Duality between $D(X)$ and $D(\hat{X})$ with its application to Picard sheaves, Nagoya Mathematical Journal 81, 153-175, ISSN 0027-7630 (1981)