Comoment

Modèle:Ébauche On appelle comoment le produit de deux torseurs. Cette opération est commutative.

Le comoment est un scalaire égal à la somme des produits scalaires de la résultante d'un torseur par le moment de l'autre. Pour pouvoir calculer le comoment de deux torseurs, ceux-ci doivent être exprimés au même point de réduction.

Expression générale

L'expression générale du comoment de deux torseurs M₁ et M₂ est  :

$${\overrightarrow{M}}_1\odot {\overrightarrow{M}}_2=\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_1\\ {\overrightarrow{M}}_1(A)\end{array}\right\}\odot \left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{R}}_2\\ {\overrightarrow{M}}_2(A)\end{array}\right\}={\overrightarrow{R}}_1\cdot {\overrightarrow{M}}_2(A)+{\overrightarrow{M}}_1(A)\cdot {\overrightarrow{R}}_2$$

Notations

Il est fréquent de rencontrer la notation $\{T_1\}\otimes \{T_2\}$ pour le comoment de deux torseurs {T₁} et {T₂}. Cependant la notation avec un point cerclé ($\odot$) est à préférer pour éviter toute confusion avec le produit tensoriel.

Propriétés

• Lorsque le comoment de deux torseurs est nul, alors les deux torseurs sont orthogonaux.
• Le comoment est invariant; un comoment de deux torseurs au point A sera le même que celui des deux mêmes torseurs à un autre point.

Exemples d'utilisation

Le comoment est notamment utilisé dans le calcul de :

• l'énergie cinétique de solides indéformables. On fait la moitié du comoment du torseur cinétique et du torseur cinématique : $E_c=\frac{1}{2}\left\{\begin{array}{c}𝒞\end{array}\right\}\odot \left\{\begin{array}{c}𝒱\end{array}\right\}=\frac{1}{2}{\left\{\begin{array}{c}m\overrightarrow{V}\\ \overrightarrow{\sigma }\end{array}\right\}}_A\odot {\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\\ \overrightarrow{V}\end{array}\right\}}_A=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V}}^2+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ ;
• la puissance instantanée. On fait le comoment du torseur d'effort et du torseur cinématique : $𝒫=\left\{\begin{array}{c}ℱ\end{array}\right\}\odot \left\{\begin{array}{c}𝒱\end{array}\right\}={\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\\ \overrightarrow{M}\end{array}\right\}}_A\odot {\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\\ \overrightarrow{V}\end{array}\right\}}_A=\overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{V}+\overrightarrow{M}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$.

Lien avec l'automoment

L'automoment du torseur {T}, noté A_{T}, est la moitié du comoment de ce torseur par lui-même, soit :

$$A_{\left\{T\right\}}=\frac{1}{2}{\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\\ \overrightarrow{M}\end{array}\right\}}_A\odot {\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{R}\\ \overrightarrow{M}\end{array}\right\}}_A=\overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{M}$$

Remarques :

• l'automoment est nul si et seulement si le torseur est un torseur spécial : un glisseur, un torseur couple ou un torseur nul ;
• l'automoment est invariant dans l'espace.