Groupe d'homotopie

Modèle:Ébauche En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et $x_0$ un point de X. Soit ${ℬ}^i$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien ${ℝ}^i$. Son bord $\partial {ℬ}^i={𝒮}^{i-1}$ est la sphère unité de dimension $i-1$.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur ${\pi }_i(X,x_0)$ est l'ensemble des classes d'homotopie relative à ${𝒮}^{i-1}$ d'applications continues $f:{ℬ}^i\to X$ telle que : $f({𝒮}^{i-1})=\{x_0\}$.

Un élément de ${\pi }_i(X,x_0)$ est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la $(i-1)$-sphère vers le point de référence $x_0\in X$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à ${𝒮}^{i-1}$.

Deuxième définition

En identifiant le bord de la boule ${ℬ}^i$ à un point $s_0$, on obtient une sphère ${𝕊}^i$ et chaque élément de ${\pi }_i(X,x_0)$ se définit par les classes d'homotopie des applications ${𝕊}^i\to X$ par lesquelles le point base $s_0$ de la sphère se transforme en $x_0$. On peut dire que les éléments du groupe ${\pi }_i(X,x_0)$ sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications ${𝕊}^i\to X$ pour lesquelles on a : $s_0\mapsto x_0$.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule ${ℬ}^i$ avec le cube ${𝕀}^i=[0,1{]}^i$ de dimension i dans ℝModèle:Exp.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube $f,g:({𝕀}^i,{𝕊}^{i-1})\to (M,x_0)$ est l'application $f+g:({𝕀}^i,{𝕊}^{i-1})\to (M,x_0)$ définie par la formule :

et

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.

On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Modèle:Lien).

On obtient le groupe fondamental si i = 1.

Propriétés et outils

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

On a une généralisation des groupes d'homotopie.

Soient X un espace topologique, A ⊂ X et x un point de X.

Soient I^r = [0, 1]^r et J^r = (∂I^r-1 × I) ∪ (I^r-1 × {1}) = ∂I^r \ int(I^r-1 × {0}).

Le r-ième groupe d'homotopie relatif ${\pi }_r(X,A,x)$ est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues $f:(I^r,\partial I^r,J^r)\to (X,A,x)$ telles que : $f(I^r)\subset X$, $f(\partial I^r)\subset A$, $f(J^r)=x$, avec des homotopies de même forme.

• ${\pi }_r(X,x,x)={\pi }_r(X,x)$ donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
• De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
• On a une suite exacte longue :$\cdots \to {\pi }_n(A,x)\stackrel{i_{*}}{\to }{\pi }_n(X,x)\stackrel{j_{*}}{\to }{\pi }_n(X,A,x)\stackrel{d}{\to }{\pi }_{n-1}(A,x)\to \cdots$où i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de $(I^r,\partial I^r,J^r)$ à $I^{r-1}$.

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration

Soit p : E → B une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :

$\cdots \to {\pi }_n(F)\to {\pi }_n(E)\to {\pi }_n(B)\to {\pi }_{n-1}(F)\to \cdots \to {\pi }_1(F)\to {\pi }_1(E)\to {\pi }_1(B)\to {\pi }_0(F)$.

Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés ${\pi }_i(X,A,x_0)$ et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés $H_i(X,A)$. Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel $h_n:{\pi }_n(X,A,*)\to H_n(X,A)$.

Si $A\subset X$ sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour $n\ge 2$ alors :

• d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que $H_i(X,A)=0$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments $\omega (\beta )-\beta$ avec $\omega \in {\pi }_1(A,*)$ et $\beta \in {\pi }_n(X,A,*)=1$ ; en particulier, si ${\pi }_1(A,*)=1$, alors $h_n$ est un isomorphisme ;
• d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, $n\ge 2$, on a $H_i(X,*)=0$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».

Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son Modèle:Math.

Méthodes de calcul

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace, est commutatif et l'action du Modèle:Math sur les Modèle:Math est triviale.

Voir aussi

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Modèle:Lien
• Tour de Postnikov

Bibliographie

• Modèle:DoubrovineFomenkoNovikov, vol. 2 et 3
• Jean Dieudonné, Éléments d'Analyse, Jacques Gabay, vol. 9
• Modèle:Ouvrage