Lemme des tresses

En algèbre linéaire, le lemme des tresses énonce une condition suffisante pour qu'une fonction trilinéaire soit la fonction nulle.

Énoncé

Soient Modèle:Math deux espaces vectoriels sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Soit Modèle:Math une fonction trilinéaire, antisymétrique par rapport à ses deux premières variables et symétrique par rapport à ses deux dernières variables. Alors Modèle:Math est la fonction nulle sur Modèle:Math.

Preuve

Soit Modèle:Math appartenant à Modèle:Math. Modèle:Retrait donc Modèle:Math est la fonction nulle.

Application

Ce lemme permet de montrer que pour tout ouvert connexe U d'un espace euclidien E, une application de U dans E de classe CModèle:2 dont la différentielle en tout point est une isométrie vectorielle ne peut être qu'une isométrie affine (restreinte à U).