Épigraphe (mathématiques)

Représentation d'une portion de l’épigraphe d'une fonction f(x) (en vert).

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $𝔼$ à valeurs dans la droite réelle achevée $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$. L'épigraphe de $f$ est l'ensemble noté $\mathrm{epi}f$ et défini par

$\mathrm{epi}f:=\{(x,\alpha )\in 𝔼\times ℝ:f(x)⩽\alpha \}.$

Il s'agit donc de l'ensemble des points de l'ensemble produit $𝔼\times ℝ$ qui sont situés au-dessus du graphe de $f$ (épi venant du grec ancien et signifiant sur, au-dessus).

L'épigraphe strict de $f$ est l'ensemble noté ${\mathrm{epi}}_{s}f$ et défini par

${\mathrm{epi}}_{s}f:=\{(x,\alpha )\in 𝔼\times ℝ:f(x)<\alpha \}.$

Exemples d'utilisation

L'épigraphe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. En voici deux exemples.

• Si $𝔼$ est un espace topologique, on démontre qu'une application $f:𝔼\to \overline{ℝ}$ est semi-continue inférieurement si et seulement si son épigraphe est un fermé de l'espace topologique produit $𝔼\times ℝ$. En analyse convexe, une telle application est dite fermée.
• Si $𝔼$ est un espace vectoriel réel, on dit que $f:𝔼\to \overline{ℝ}$ est convexe si son épigraphe est un convexe de l'espace vectoriel produit $𝔼\times ℝ$.

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