Repère projectif

4 points projectifs linéairement indépendants forment un repère projectif du plan projectif

En géométrie projective, un repère projectif d'un espace projectif de dimension n est la donnée ordonnée de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de départ (ou de façon équivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de départ). Ainsi :

• un repère projectif d'une droite projective est donné par 3 points distincts de la droite ;
• un repère projectif d'un plan projectif est un quadruplet de points du plan, tels que 3 parmi ceux-ci ne sont pas alignés ;
• etc.

Les repères projectifs jouent pour les espaces projectifs un rôle analogue à celui des bases pour les espaces vectoriels, et des repères affines pour les espaces affines, c'est-à-dire qu'elle permettent de caractériser les applications associées, en l'occurrence les applications projectives. En dimension finie n il faut :

• n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ;
• n + 1 points pour un repère affine ;
• n + 2 points pour un repère projectif.

Une application projective est définie et entièrement déterminée par les images des points d'un repère projectif. Un repère projectif d'un espace projectif de dimension n sur un corps K permet de faire correspondre à ce dernier l'espace projectif défini sur l'espace vectoriel Kⁿ⁺¹ (par une transformation projective ou homographie) et donc de définir un système de coordonnées homogènes (n + 1 coordonnées) sur l'espace d'origine.

Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension $n+1$ associé. On veut donc choisir une base $(e_1,...,e_{n+1})$ de cet espace, et considérer les points $(p_1,...,p_{n+1})=(\pi (e_1),...,\pi (e_{n+1}))$ comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées $(x_1,...,x_{n+1})$ dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur $x=x_1\cdot e_1+...+x_{n+1}\cdot e_{n+1}$ qui définit un unique point $\pi (x)$ dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif $(p_1,...,p_{n+1})$, on ne peut pas retrouver les vecteurs $(e_1,...,e_n)$ qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme ${\tilde{e}}_1={\lambda }_1\cdot e_1,...,{\tilde{e}}_{n+1}={\lambda }_{n+1}\cdot e_{n+1}$. Si l'on considère le nouveau vecteur $\tilde{x}=x_1\cdot {\tilde{e}}_1+...+x_{n+1}\cdot {\tilde{e}}_{n+1}=x_1{\lambda }_1\cdot e_1+...+x_{n+1}{\lambda }_{n+1}\cdot e_{n+1}$, celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à $x$, et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les ${\lambda }_i$ sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points $(p_1,...,p_{n+1})$ une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs ${\tilde{e}}_1,...,{\tilde{e}}_{n+1}$ comme ci-dessus à vérifier ${\lambda }_1=...={\lambda }_{n+1}$. Pour cela, on impose une contrainte sur la somme ${\tilde{e}}_1+...+{\tilde{e}}_{n+1}$ qui doit être colinéaire à la somme $e_1+...+e_{n+1}$ choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux $p_i$ le point $p_{n+2}=\pi (e_1+...+e_{n+1})$, et alors tout choix de ${\tilde{e}}_1,...,{\tilde{e}}_{n+1}$ vérifiant $\pi ({\tilde{e}}_1+...+{\tilde{e}}_{n+1})=p_{n+2}$ permet de retrouver le point de l'espace projectif correspondant aux coordonnées $(x_1,...,x_{n+1})$ comme indiqué ci-dessus.