Inégalité de Paley–Zygmund

En mathématiques, l’inégalité de Paley-Zygmund minore la probabilité qu'une variable aléatoire positive soit « petite », au sens de sa valeur moyenne attendue et de sa variance. Elle fut établie par Raymond Paley et Antoni Zygmund.

Inégalité

Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors

\Pr {Z \geq θ E (Z)} \geq (1 - θ)^{2} \frac{E (Z)^{2}}{E (Z^{2})} .

Tout d'abord, on a :

E (Z) = E {Z 𝟏_{Z < θ E (Z)}} + E {Z 𝟏_{Z \geq θ E (Z)}} .

Le premier terme de la somme est égal, au plus, à $θ E (Z)$ . Le second terme est au plus égal à :

{E (Z^{2})}^{1 / 2} {E 𝟏_{Z \geq θ E (Z)}}^{1 / 2} = (E (Z^{2}))^{1 / 2} (\Pr {Z \geq θ E (Z)})^{1 / 2}

Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.

En réécrivant le membre de droite, l'inégalité de Paley-Zygmund se met sous la forme :

\Pr {Z \geq θ E (Z)} \geq \frac{(1 - θ)^{2} E (Z)^{2}}{E (Z)^{2} + Var (Z)} .

L'Inégalité de Cauchy-Schwarz donne une meilleure minoration :

E [Z - θ E [Z]] \leq E [(Z - θ E [Z]) 𝟏_{{Z > θ E [Z]}}] \leq E [(Z - θ E [Z])^{2}]^{1 / 2} P (Z > θ E [Z])^{1 / 2},

ce qui implique, après réarrangement,

P (Z > θ E [Z]) \geq \frac{(1 - θ)^{2} E [Z]^{2}}{E [(Z - θ E [Z])^{2}]} = \frac{(1 - θ)^{2} E [Z]^{2}}{Var Z + (1 - θ)^{2} E [Z]^{2}} .

R.E.A.C.Paley et A.Zygmund, « A note on analytic functions in the unit circle », Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266-272.