Théorème de Rouché

Modèle:Confusion En analyse complexe, le théorème de Rouché est un énoncé portant sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.

Énoncé

Soit $U\subset ℂ$ un ouvert simplement connexe, soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux fonctions méromorphes sur $U$ avec un ensemble fini $F$ de zéros et de pôles. Soit Modèle:Mvar un lacet simple à image dans $U-F$ formant le bord $\partial K$ d'un compact $K$. Si

$|f(z)-g(z)|<|g(z)|$ pour tout point Modèle:Mvar de Modèle:Mvar

alors

$Z_f-P_f=Z_g-P_g$

où $Z_f$ et $P_f$ sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de $f$ (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans $K$.

Exemple

Considérons les deux fonctions polynomiales Modèle:Mvar et Modèle:Mvar définies par :

$f(z)=z^8-5z^3+z-2,g(z)=-5z^3$

et considérons pour lacet le cercle $C(0,1):=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}$. On vérifie que sur ce lacet :

$|f(z)-g(z)|=|z^8+z-2|\le |z{|}^8+|z|+2=4$

et

$|g(z)|=|-5z^3|=5$.

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

$Z_f=Z_g$

puisque Modèle:Mvar et Modèle:Mvar n'ont pas de pôle. Par ailleurs, Modèle:Mvar a un zéro triple à l'origine, ce qui nous indique donc que la fonction Modèle:Mvar admet trois zéros dans le disque ouvert $D(0,1)$.

Démonstration

Si $|f(z)-g(z)|<|g(z)|$ pour tout $z\in \gamma$, alors Modèle:Mvar et Modèle:Mvar ne s'annulent pas sur $\gamma$ (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit Modèle:Mvar la fonction méromorphe sur $U$, holomorphe et ne s'annulant pas sur $\gamma$ définie par :

$h=\frac{f}{g}$.

Pour tout point Modèle:Mvar de Modèle:Mvar,

$|h(z)-1|=\frac{|f(z)-g(z)|}{|g(z)|}<1$.

L'image de $\gamma$ par $h$ est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 $D(1,1)$ et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)}\mathrm{d}z=0$.

D'autre part,

$\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)}=\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}-\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}$.

Par conséquent,

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z-\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}\mathrm{d}z=0$.

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

$Z_f-P_f=Z_g-P_g$.

Applications

Démonstration du théorème fondamental de l'algèbre

Soit un polynôme $P$ à valeurs dans $ℂ$ et défini par :

$P(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_n{z}^n$

en supposant $a_n\ne 0$. Soit $R>0$ suffisamment grand pour que pour tout $z\in C(0,R)$ (cercle de rayon R) on ait :

$|P(z)-a_n{z}^n|=|a_0+\cdots +a_{n-1}{z}^{n-1}|<|a_n{z}^n|$

(par exemple $R=1+\frac{\max (|a_0|,\dots ,|a_{n-1}|)}{|a_n|}$ convient).

Étant donné que $a_n{z}^n$ admet un zéro d'ordre $n$ à l'origine, $P$ doit admettre $n$ zéros dans le disque ouvert $D(0,R)$ par application du théorème de Rouché.

Généralisations

Modèle:Section vide ou incomplète Un siècle plus tard, Theodor Estermann a affaibli l'hypothèse $|f(z)-g(z)|<|g(z)|$ de Rouché, obtenant : Modèle:Énoncé

Voir aussi

Article connexe

Théorème de Hurwitz sur les suites de fonctions holomorphes

Bibliographie

• Modèle:Pdf Michèle Audin, Analyse complexe, notes de cours de l'université de Strasbourg disponibles en ligne
• Murray R. Spiegel, Variables complexes, McGraw-Hill Modèle:ISBN