Formule de Crofton

La droite de paramètres $(\phi ,p)$ intersecte deux fois la courbe donc $n_{\gamma }(\phi ,p)=2$.

En mathématiques, la formule de Crofton, nommée d'après Modèle:Lien (1826-1915), est un résultat de géométrie intégrale qui relie la longueur d'une courbe plane avec le nombre moyen de ses points d'intersections avec une droite quelconque du plan.

Énoncé

Soit γ une courbe plane rectifiable de longueur finie. Soit une droite orientée l, et soit n_γ(l) le nombre de points où γ et l s'intersectent. On peut paramétrer la droite l par sa direction φ composée d'un angle et de coordonnées par rapport à l'origine. La formule de Crofton permet d'exprimer la longueur de la courbe γ en termes d'intégrale sur l'espace de toutes les droites orientées :

$\ell (\gamma )=\frac{1}{4}\iint n_{\gamma }(\phi ,p)\mathrm{d}\phi \mathrm{d}p.$

La forme différentielle

$\mathrm{d}\phi \wedge \mathrm{d}p$

est invariante par rapport aux transformations rigides ; il s'agit donc d'une mesure naturelle pour intégrer, ce qui permet de parler de nombre « moyen » d'intersection.

Articles connexes

• Théorème de Barbier
• Modèle:Lien

Modèle:Traduction/Référence