Transformée en W

En théorie du signal, on appelle transformée en W le résultat de la fonction homographique définie par $f(z)=\frac{z+1}{z-1}$, où Modèle:Mvar est en pratique à son tour le résultat d'une transformée en Z.

Propriétés algébriques

La transformation en W envoie le cercle unité sur le demi-plan Modèle:Math.

Cette transformation est involutive, c'est-à-dire que si Modèle:Math alors Modèle:Math. En effet, la relation Modèle:Math est symétrique en Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, car on peut l'écrire Modèle:Math.

Ses deux points fixes sont les réels Modèle:Math et Modèle:Math, ce qui permet l'écriture plus synthétique

$W=\frac{w-1+\sqrt{2}}{w-1-\sqrt{2}}=-\frac{z-1+\sqrt{2}}{z-1-\sqrt{2}}=-Z$ ;

on retrouve bien l'involutivité car Modèle:Math.

Référence

Jean-Charles Gilles, Systèmes et signaux déterministes (on trouvera à partir de la page 33 une utilisation de la transformation en W permettant un emploi plus aisé du critère de Routh).

Voir aussi

• Transformation de Cayley
• Transformation de Möbius