Modèle de Verhulst

La courbe logistique est associée à la solution du modèle de Verhulst. Ici, on a K=100.

En dynamique des populations, le modèle de Verhulst a été proposé par Pierre François Verhulst vers 1840Modèle:,. Il a proposé ce modèle de croissance en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population.

Le modèle de Verhulst fait l'hypothèse que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsqu'une population est de petite taille, elle a tendance à croître.

Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peuvent encore être touchés.

Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique ; et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique.

Mise en place mathématique

Si on appelle :

• Modèle:Mvar la taille de la population ;
• Modèle:Math le taux de mortalité ;
• Modèle:Math le taux de natalité,

alors, en s'inspirant du modèle de Malthus, la taille de la population suit l'équation différentielle :

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y\cdot (n(y)-m(y))$

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des fonctions affines respectivement croissante et décroissante alors Modèle:Mvar est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour Modèle:Mvar tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire :

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=y\cdot (a-b\cdot y)$ avec Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux réels positifs.

C'est le modèle proposé par Verhulst.

Puis, en posant Modèle:Math, l'équation devient alors :

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=a\cdot y\cdot (1-\frac{y}{K})\text{avec}a,K>0.$

Une observation immédiate montre que :

• la fonction constante Modèle:Mvar est solution de cette équation ;
• si Modèle:Math alors la population croît ;
• si Modèle:Math alors la population décroît.

Le paramètre Modèle:Mvar est appelé la capacité d'accueil ou capacité de charge.

Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée et à la population restante) :

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\alpha \cdot y\cdot (K-y)=\alpha \cdot K\cdot y\cdot (1-\frac{y}{K}).$

Résolution en temps continu

Modèle:Article détaillé La recherche des fonctions strictement positives définies sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et vérifiant le système :

• $y(0)=y_0$
• $y^{\prime }=a\cdot y\cdot (1-\frac{y}{K})$

conduit à la solution logistique :

$y(t)=K\frac{1}{1+(\frac{K}{y_0}-1)\cdot e^{-a\cdot t}}$

où l'on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population initiale est inférieure à la population d'accueil, et décroissante sinon.

Résolution en temps discret

Modèle:Article détaillé En temps discret, le modèle se transforme en :

$u_{n+1}-u_n=a\cdot u_n\cdot (1-\frac{u_n}{K})$.

Puis, en posant :

• $a+1=\mu$,
• $v_n=\frac{a\cdot u_n}{\mu \cdot K}$,

la relation de récurrence devient :

$v_{n+1}=\mu \cdot v_n\cdot (1-v_n)$.

C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme suite logistique. Bien que simple par son expression, elle peut conduire à des résultats très variés.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article

Articles connexes

• Modèle évolutif r/K
• Équations de compétition de Lotka-Volterra

Lien externe

• Christelle Magal, Mathématiques en dynamiques des populations Modèle:PDF