Théorème de Kronecker
En algèbre et plus particulièrement en théorie des groupes, le théorème de structure des groupes abéliens finis Modèle:Refsou. Il affirme que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.
Ce théorème fut démontré par Leopold Kronecker en 1870[1]. En 1868, Modèle:Lien l'avait démontré pour certains « groupes de classes ». La démonstration de Kronecker répétait celle de Schering, mais dans un cadre plus abstrait et donc plus général[2].
Le théorème s'étend aux groupes abéliens de type fini. C'est un cas particulier du théorème des facteurs invariants.
Énoncé du théorème
Soit G un groupe abélien fini. Modèle:Énoncé
Les éléments de cette suite sont appelés facteurs invariants de G.
Démonstration
Il existe de nombreuses manières de démontrer ce théorème. Une des méthodes les plus expéditives utilise la théorie des représentations des groupes. Il en existe d'autres utilisant par exemple les caractères.
La démonstration proposée ici reste dans le cadre strict de la théorie des groupes. L'existence d'une décomposition se fonde sur le lemme 1 suivant, qui utilisera le lemme 2 :
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Applications
- Dans la décomposition ci-dessus, l'exposant de G est égal à aModèle:Ind et l'ordre de G à aModèle:Ind…aModèle:Ind. Par conséquent, un groupe abélien fini est cyclique dès que son ordre est :
- inférieur ou égal à son exposant. En particulier, tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique[3].
- ou sans facteur carré.
- Deux groupes abéliens finis sont isomorphes dès que le nombre d'éléments de chaque ordre est le même pour ces deux groupes. En effet, on peut retrouver les facteurs invariants à partir de cette donnée[4]. La condition « abéliens » est indispensable : il existe par exemple[5], pour tout nombre premier impair p, deux groupes d'ordre pModèle:3 et d'exposant p : le groupe abélien (ℤModèle:Ind)Modèle:3 et le [[Groupe de Heisenberg#Cas p premier impair|groupe de Heisenberg sur FModèle:Ind]].
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
- Modèle:Lien
- Théorème de Jordan-Hölder (un théorème analogue dans le cas où le groupe n'est pas abélien)
Bibliographie
- Modèle:Lang1
- Jean-François Labarre, La théorie des groupes, PUF, 1978
- Modèle:Article
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Thomas Hawkins, The Mathematics of Frobenius in Context: A Journey Through 18th to 20th Century Mathematics, Springer, 2013, p. 299 et suivantes, spécialement 300, 301 et 311, partiellement consultable sur Google Livres.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Cet exercice corrigé sur Wikiversité procède ainsi. Pour d'autres preuves, voir Modèle:Lien web et Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Harvsp.