Nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique

La nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique $g_{\alpha \beta }$ d'une variété riemannienne exprime le fait que la même mesure est appliquée en tout point de la variété. En termes mathématiques, elle s'exprime sous la forme : $g_{\alpha \beta ;\gamma }=0$ où $g_{\alpha \beta ;\gamma }$ représente les composantes de la dérivée du tenseur. Cette propriété peut se démontrer de deux façons :

• par un raisonnement mathématique, en posant explicitement le calcul avec les coefficients de Christoffel ;

• par un raisonnement physique, dans le cadre de la relativité générale.

Détail du raisonnement physique : le principe d'équivalence stipule qu'il est toujours possible de trouver un référentiel lorentzien local où les dérivées premières de la métrique sont nulles, c'est-à-dire : $g_{\alpha \beta ,\gamma }=0$. Or, les coefficients de Christoffel ne dépendent que des dérivées premières de la métrique, on a donc : ${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta \gamma }=0$ et $g_{\alpha \beta ;\gamma }=0$.

Cette relation tensorielle étant vraie dans tout référentiel lorentzien local, d'après le principe d'équivalence, elle l'est également dans un référentiel quelconque.