Bialgèbre

Modèle:Ébauche En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.

Définition

Si $k$ est un corps, une bialgèbre est un $k$-espace vectoriel $B$ muni de quatre applications linéaires :

• un produit $\mu :B\otimes B⟶B$,
• une unité $\eta :k⟶B$,
• un coproduit $\mathrm{\Delta }:B⟶B\otimes B$,
• une counité $ϵ:B⟶k$.

telles que $(B,\mu ,\eta )$ soit une algèbre et $(B,\mathrm{\Delta },ϵ)$ une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

1. $\mathrm{\Delta }$ et $ϵ$ sont des morphismes d'algèbres.
2. $\mu$ et $\eta$ sont des morphismes de coalgèbres.

Motivations

La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.