Lemme de Neyman-Pearson

Modèle:Voir homonymes Modèle:Ébauche Modèle:Infobox Méthode scientifique En statistique, selon le lemme de Neyman-Pearson, lorsque l'on veut effectuer un test d'hypothèse entre deux hypothèses H₀ : θ = θ₀ et H₁ : θ = θ₁, pour un échantillon $𝐱=(X_1,\dots ,X_n)$, alors le test du rapport de vraisemblance, qui rejette H₀ en faveur de H₁ lorsque $\frac{ℒ(𝐱,{\theta }_0)}{ℒ(𝐱,{\theta }_1)}\le k_{\alpha }$, où $k_{\alpha }$ est tel que

$P(\frac{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_0)}{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_1)}\le k_{\alpha }|H_0)=\alpha$, est le test le plus puissant de niveau $\alpha$.

Ce lemme est nommé d'après Jerzy Neyman et Egon Sharpe Pearson dans un article publié en 1933.

En pratique, la plupart du temps, le rapport de vraisemblance lui-même n'est pas explicitement utilisé dans le test. En effet, le test du rapport de vraisemblance ci-dessus est souvent équivalent à un test de la forme $T\le t_{\alpha }$ pour une statistique $T$ plus simple, et le test est effectué sous cette forme-ci.

Démonstration

Modèle:Travail inédit Théorème : La région de rejet $R_0$ optimale est définie par l'ensemble des points $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ tels que

$\frac{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_0)}{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_1)}\le k_{\alpha }$

où la constante $k_{\alpha }$ est telle que $P(𝐱\in R_0|{\theta }_0)=\alpha$. À noter qu'on a les relations suivantes :

$P({\mathbf{\text{D}}}_n\in R_0|{\theta }_0)=\alpha =\underset{R_0}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_0)d𝐱$

$P({\mathbf{\text{D}}}_n\in R_0|{\theta }_1)=1-\beta =\underset{R_0}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_1)d𝐱$

où $D_n=(x{\text{'}}_1,\dots ,x{\text{'}}_n)$ est l'échantillon.

Démonstration :

Montrons tout d'abord que lorsque $f_{𝒳}(.;\theta )$ est une densité bornée, il existe toujours une constante $k$ telle que

$P(\frac{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_0)}{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_1)}>k|H_0)=\alpha$.

En effet, lorsque $k=0$, cette probabilité vaut 1. D'autre part, cette probabilité décroit monotonément et continument vers zéro, lorsque $k\to \mathrm{\infty }$. Par conséquent, il doit exister une valeur finie de $k$, appelée $k_{\alpha }$, qui satisfait l'égalité, $\mathrm{\forall }\alpha \in ]0;1[$.

Désignons alors par $R_0$, le sous-ensemble de ${ℝ}^n$ suivant,

$R_0\triangleq \{𝐱\in {ℝ}^n|\frac{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_0)}{ℒ(\mathbf{\text{x}},{\theta }_1)}\le k_{\alpha }\}$,

et soit $R$ une autre partie de ${ℝ}^n$, telle que $P(𝐱\in R|{\theta }_0)\le \alpha$.

Montrons que $P(𝐱\in R_0|{\theta }_1)>P(𝐱\in R|{\theta }_1)$:

$\begin{array}{cc}P(𝐱\in R_0|{\theta }_1)-P(𝐱\in R|{\theta }_1)& =\underset{R_0}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_1)d𝐱-\underset{R}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_1)d𝐱\\ & =\underset{R_0\mathrm{\setminus }R}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_1)d𝐱-\underset{R\mathrm{\setminus }{R}_0}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_1)d𝐱\end{array}$

$\text{Or }ℒ(𝐱;{\theta }_1)\ge k_{\alpha }ℒ(𝐱;{\theta }_0)\text{ sur }{R}_0\text{ et }ℒ(𝐱;{\theta }_1)<k_{\alpha }ℒ(𝐱;{\theta }_0)\text{ en dehors}$

$\begin{array}{cc}P(𝐱\in R_0|{\theta }_1)-P(𝐱\in R|{\theta }_1)& \ge k_{\alpha }(\underset{R_0\mathrm{\setminus }R}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_0)d𝐱-\underset{R\mathrm{\setminus }{R}_0}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_0)d𝐱)\\ & \ge k_{\alpha }(\underset{R_0}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_0)d𝐱-\underset{R}{\int }ℒ(𝐱;{\theta }_0)d𝐱)\\ \end{array}$

La première intégrale vaut $\alpha$ par construction, la deuxième est majorée par $\alpha$, on obtient:

$P(𝐱\in R_0|{\theta }_1)-P(𝐱\in R|{\theta }_1)\ge 0$ ce qui conclut.

Liens externes

• cnx.org -- Neyman-Pearson criterion
• Modèle:Lien web

Voir aussi

• Puissance statistique
• Test F