Algèbre de Kac-Moody

En mathématiques, une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie, généralement de dimension infinie, pouvant être définie par des générateurs et des relations via une matrice de Cartan généralisée. Les algèbres de Kac-Moody tiennent leur nom de Victor Kac et de Robert Moody, qui les ont indépendamment découvertes. Ces algèbres sont une généralisation des algèbres semi-simples de Lie de dimension finie, et de nombreuses propriétés liées à la structure des algèbres de Lie, notamment son système de racines, ses représentations irréductibles, ses liens avec les variétés de drapeaux ont des équivalents dans le système de Kac-Moody. Une classe d'algèbres de Kac-Moody appelées Modèle:Lien est particulièrement importante en mathématiques et en physique théorique, et plus spécifiquement dans les théories conforme des champs et des systèmes complètement intégrables. Kac a trouvé une preuve élégante de certaines identités combinatoires, les Modèle:Lien, en se fondant sur la théorie des représentations des algèbres de Lie affines. Howard Garland et James Lepowsky démontrèrent quant à eux que les identités de Rogers-Ramanujan pouvaient être prouvées de façon similaire.

Définition

Une algèbre de Kac-Moody est déterminée comme suit :

1. Une matrice de Cartan généralisée de taille $n\times n$, $C=(c_{ij})$ de rang r.
2. Un espace vectoriel $𝔈$ sur $ℂ$ de dimension 2n - r.
3. Un ensemble de n vecteurs libres ${\alpha }_i$ de $𝔈$ et un ensemble de n vecteurs libres ${\alpha }_i^{*}$ de l'espace dual associé à $𝔈$, tel que $\mathrm{\forall }i,j\in (\{1\cdots n\}{)}^2$, ${\alpha }_i^{*}({\alpha }_j)=c_{ij}$. Les ${\alpha }_i$ sont appelés « coracines », tandis que les ${\alpha }_i^{*}$ sont appelés « racines ».

L'algèbre de Kac-Moody est l'algèbre de Lie $𝔤$ définie par les vecteurs générateurs $e_i$ et $f_i$ et les éléments de $𝔈$ ainsi que les relations :

• $[e_i,f_i]={\alpha }_i$
• $\mathrm{\forall }i\ne j,[e_i,f_j]=0$
• $\mathrm{\forall }x\in 𝔈,[e_i,x]={\alpha }_i^{*}(x)e_i$
• $\mathrm{\forall }x\in 𝔈,[f_i,x]=-{\alpha }_i^{*}(x)f_i$
• $\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in 𝔈,[x,x^{\prime }]=0$
• $\text{ad}(e_i{)}^{1-c_{ij}}(e_j)=0$
• $\text{ad}(f_i{)}^{1-c_{ij}}(f_j)=0$

Où $\text{ad}:𝔤\to \text{gl}(𝔤),\text{ad}(x)(y)=[x,y]$ est la représentation adjointe de $𝔤$.

Une algèbre de Lie (de dimension infinie ou non) sur le corps des réels est également considérée comme une algèbre de Kac-Moody si sa complexifiée est une algèbre de Kac-Moody.

Interprétation

Soit $𝔥$ une sous-algèbre de Cartan de l'algèbre de Kac-Moody.

Si g est un élément de l'algèbre de Kac-Moody tel que $\mathrm{\forall }x\in 𝔥,[g,x]=\omega (x)g$, où $\omega$ est un élément de ${𝔥}^{*}$, alors on dit que g a un poids $\omega$. L'algèbre de Kac-Moody peut être diagonalisée en vecteurs propres de poids. La sous-algèbre de Cartan $𝔥$ a un poids nul, $e_i$ a un poids ${\alpha }_i^{*}$ et $f_i$ a un poids $-{\alpha }_i^{*}$. Si le crochet de Lie de deux vecteurs propres est non nul, alors son poids est la somme de leurs poids. La condition $[e_i,f_j]=0\mathrm{\forall }i\ne j$ signifie simplement que les ${\alpha }_i^{*}$ sont des racines simples.

Types d'algèbres de Kac-Moody

La matrice de Cartan associée à l'algèbre de Kac-Moody $𝔤$ peut être décomposée comme produit de deux matrices D et S où D est une matrice diagonale positive et S une matrice symétrique. La nature de S détermine le type de l'algèbre de Kac-Moody dont il est question :

• $𝔤$ est une algèbre de Lie simple de dimension finie si S est définie positive ;
• $𝔤$ est affine si S est semi-définie positive de corang 1.

Il existe aussi une autre classe d'algèbre de Kac Moody appelée algèbres hyperboliques. La matrice S ne peut jamais être définie négative ni semi-définie négative puisque ses coefficients diagonaux sont positifs.

Ces types d'algèbres de Kac Moody sont également caractérisés par leur diagramme de Dynkin :

• on connaît la liste complète des diagrammes de Dynkin correspondant aux algèbres de Lie simples ;
• lorsque tout sous-diagramme du diagramme de Dynkin de $𝔤$ est le diagramme d'une algèbre de Lie simple, alors $𝔤$ est affine ;
• lorsque tout sous diagramme du diagramme de Dynkin de $𝔤$ est le diagramme d'une algèbre affine, alors $𝔤$ est hyperbolique.

Les algèbres affines sont les mieux connues des algèbres de Kac-Moody.

Références

• Modèle:En A. J. Wassermann, Kac-Moody and Virasoro Algebras, Modèle:Arxiv2
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:EncycloMath
• Modèle:Article, Izv. Akad. Nauk USSR Ser. Mat., vol. 32, 1968, Modèle:P.
• Modèle:Article

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Formule des caractères de Weyl