Problème aux valeurs propres généralisé

En algèbre linéaire, un problème aux valeurs propres généralisé est une extension du problème de recherche de vecteurs et valeurs propres d'une matrice.

Soient A et B deux matrices carrées de dimension n×n. Le problème aux valeurs propres généralisé consiste à trouver un vecteur v (de dimension n) vérifiant

$\mathrm{A}𝐯=\lambda \mathrm{B}𝐯$

où λ est un scalaire. Un tel vecteur v est appelé « vecteur propre généralisé de A et de B », et le scalaire λ associé est appelé « valeur propre généralisée de A et de B ».

Notons $(\cdot ,\cdot {)}_{{ℂ}^n}$ le produit scalaire canonique hermitien de ${ℂ}^n$ :

$(𝐯,𝐮{)}_{{ℂ}^n}={𝐯}^{*}𝐮$

où l'opération u^* désigne la transconjuguée de u. Alors, le problème aux valeurs propres généralisées peut aussi s'écrire :

$\mathrm{\forall }𝐮\in {ℂ}^n,(\mathrm{A}𝐯,𝐮{)}_{{ℂ}^n}=\lambda (\mathrm{B}𝐯,𝐮{)}_{{ℂ}^n}$

Notons que ce problème peut avoir des valeurs propres généralisées nulles ou bien infinies.

Exemples d'applications

La résolution de certains problèmes aboutit à un problème aux valeurs propres généralisé. Par exemple :

• la régression elliptique : une ellipse peut se représenter par une équation matricielle, et la recherche de la « meilleure ellipse » passant par un nuage de points peut se faire en résolvant un problème aux valeurs propres généralisé (Fitzgibbon et coll.) ;
• lorsque l'on cherche à résoudre l'équation de Schrödinger pour des molécules dans le cas de couches électroniques ouvertes (c'est-à-dire dont la couche de valence n'est pas complète), on aboutit aux équations de Roothaan, qui peuvent être écrites sous la forme d'un problème aux valeurs propres généralisé ; voir Méthode de Hartree-Fock restreinte pour couche ouverte ;
• la résolution d'un système d'équations différentielles pouvant s'écrire sous forme matricielle :
  $\{\begin{array}{cc}\mathrm{A}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathit{\alpha }}{\mathrm{d}t}(t)+\mathrm{B}\mathit{\alpha }(t)& =𝐟(t)\\ \mathit{\alpha }(0)& ={\mathit{\alpha }}_0\end{array}$
  où A et B sont à symétriques à coefficients réels, A est définie positive, f est une fonction continue de R dans Rⁿ et α₀ est un vecteur (condition initiale).
• en mécanique, les problèmes de dynamique vibratoire conduisent à la résolution du problème aux valeurs propres généralisés suivant :
  $𝕂u={\omega }^2𝕄u$ avec :
  • $𝕂,𝕄$ respectivement les matrices de raideur et de masse issues d'une discrétisation par éléments finis
  • $\omega$ les pulsations propres de la structure discrétisée
  • u les modes de déformation associés

Propriétés

Le scalaire λ doit vérifier l'équation :

$\det (\mathrm{A}-\lambda \mathrm{B})=0$

Notons que l'ensemble des matrices de la forme Modèle:Nobr est un faisceau de matrices linéaire (Modèle:Lang).

Supposons que le problème ait n solutions, c'est-à-dire que l'on ait n couples de valeurs propres-vecteurs propres Modèle:Nobr, c'est-à-dire n vecteurs Modèle:Nobr et n scalaires Modèle:Nobr vérifiant

$\mathrm{\forall }1⩽i⩽n,\mathrm{A}{𝐯}_i={\lambda }_i\mathrm{B}{𝐯}_i$

notons les composantes

${𝐯}_i\left(\begin{array}{c}{v}_{i1}\\ ⋮\\ v_{im}\end{array}\right)$

et définissons les matrices P et D :

$\mathrm{P}=[{𝐯}_1,{𝐯}_2,\cdots ,{𝐯}_n]=\left(\begin{array}{cccc}{v}_{11}& v_{21}& \cdots & v_{n1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ v_{1n}& v_{2n}& \cdots & v_{nn}\end{array}\right)$

${\mathrm{D}}_{ij}=\{\begin{array}{cc}{\lambda }_i& \text{ si }i=j\\ 0& \text{ sinon}\end{array}$ ; $\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$

On a alors :

$\mathrm{A}=(\mathrm{B}\mathrm{P}){\mathrm{D}\mathrm{P}}^{-1}$

Cas particuliers

Si B est inversible

Si la matrice B est régulière, alors on peut réécrire le problème sous la forme d'un problème aux valeurs propres « classique » :

B^-1Av = λv

mais il est en général préférable de résoudre directement le problème initial. En particulier, si A et B sont hermitiennes, alors la matrice B^-1A n'est en général elle-même pas hermitienne ; la reformulation masque alors des propriétés importantes de la solution.

Notons que puisque B et P sont régulières, alors BP l'est aussi.

Si A et B sont hermitiennes et que B est définie positive

La matrice B étant définie positive, on peut définir le produit scalaire $(\cdot ,\cdot {)}_{\mathrm{B}}$ par :

$(𝐯,𝐮{)}_{\mathrm{B}}=(\mathrm{B}𝐯,𝐮{)}_{{ℂ}^n}=(\mathrm{B}𝐯{)}^{*}𝐮$

le problème aux valeurs propres généralisé peut donc s'écrire :

$\mathrm{\forall }𝐮\in {ℂ}^n,(\mathrm{A}𝐯,𝐮{)}_{{ℂ}^n}=\lambda (𝐯,𝐮{)}_{\mathrm{B}}$

Ce cas implique donc l'existence de n couples de valeurs propres-vecteurs propres (λ_i, v_i)_{1 ≤ i ≤ n}, et :

• les valeurs propres généralisées λ_i sont réelles ;
• si deux vecteurs propres généralisés v_i et v_j (i ≠ j) ont des valeurs propres généralisées distinctes, alors
  v_i et v_j sont B-orthogonaux :
  $\mathrm{\forall }\{i,j\}\in [1;n{]}^2,({𝐯}_i,{𝐯}_j{)}_{\mathrm{B}}=0$, ce qui s'écrit également ${\mathrm{t}}^{}\overline{{𝐯}_i}\mathrm{B}{𝐯}_j=0$
  ^tv_i désignant la matrice transposée et v_i, soit encore
  ^tPBP = I_n,

Donc (v_i)_{1 ≤ i ≤ n} est une base de vecteurs propres généralisés (ce n'est pas un problème défectif).

L'égalité

A = (BP)DP^-1

est donc la décomposition spectrale généralisée de A, analogue à la décomposition spectrale d'une matrice hermitienne :

• D est une matrice diagonale ;
• (BP)^-1 = ^tP (puisque ^tPBP = I_n), ce qui « joue le rôle » de la matrice unitaire.

Mise en œuvre

De nombreux logiciels de calcul numérique ont développé des fonctions de résolution de problèmes valeurs propres généralisés. Citons par exemple :

Scilab

[alpha, beta, P] = eigs(A, B);

Cette fonction permet de traiter les cas dégénérés (valeurs propres nulles, s'il y a des zéros dans alpha, ou bien infinies, s'il y a des zéros dans beta). Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

À partir de la version 5.4, on peut utiliser pour les cas non dégénérés :

[D, P] = eigs(A, B);

Matlab Pour les cas dégénérés, on peut utiliser

[AA, BB, D, V, W] = qz(A, B);
alpha = diag(AA); betaa = diag(BB);

Les colonnes des matrices V et W contiennent les vecteurs propres généralisés.

Si le cas n'est pas dégénéré, on a alors :

D = diag(alpha./betaa);

Et pour les cas non dégénérés :

[P, D] = eig(A, B);

Voir aussi

Articles connexes

• Valeur propre, vecteur propre et espace propre
• Décomposition d'une matrice en éléments propres

Liens externes

• Modèle:Ouvrage