Formulaire de physique statistique

Outils mathématiques

Intégrales usuelles

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{\mathrm{e}}^{-x}=n!$

Intégrales de Gauss $I_n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{\mathrm{e}}^{-a{x}^2}$

$I_0$	$I_1$	$I_2$	$I_3$	$I_4$	$I_5$	$I_n$
$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}$	$\frac{1}{2a}$	$\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi }{a}}$	$\frac{1}{2a^2}$	$\frac{3}{8a^2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}$	$\frac{1}{a^3}$

Description des systèmes

$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$

Propriétés des systèmes

Ensemble et probabilité
Ensemble considéré	Micro-canonique	Canonique	Grand-canonique
Grandeurs fixées	$(E,V,N)$	$(T,V,N)$	$(T,V,\mu )$
Probabilité d'un micro-état $X$	$\frac{1}{\mathrm{\Omega }}$	$\frac{{\mathrm{e}}^{-\beta E_X}}{Z}$	$\frac{{\mathrm{e}}^{-\beta E_X+\beta \mu N_X}}{\mathrm{\Xi }}$
Condition de normalisation/fonction de partition	$\mathrm{\Omega }=\sum _{X}1$	$Z=\sum _X{\mathrm{e}}^{-\beta E_X}$	$\mathrm{\Xi }=\sum _X{\mathrm{e}}^{-\beta E_X+\beta \mu N_X}$
Potentiel thermodynamique pertinent	$S=k_B\ln \mathrm{\Omega }$	$F=-k_{B}T\ln Z$	$G=-k_{B}T\ln \mathrm{\Xi }$
Grandeurs intensives
$T$	${\left({\frac{\partial S}{\partial E}|}_{V,N}\right)}^{-1}$	Fixé par le thermostat	Fixé par le thermostat
$P$	$T{\frac{\partial S}{\partial V}|}_{E,N}$	$-{\frac{\partial F}{\partial V}|}_{T,N}$	$-{\frac{\partial G}{\partial V}|}_{T,\mu }$
$\mu$	$-T{\frac{\partial S}{\partial N}|}_{V,E}$	${\frac{\partial F}{\partial N}|}_{T,V}$	Fixé par le réservoir de particules
Grandeurs extensives
$⟨E⟩$	Fixé	$-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$	$-\frac{\partial \ln \mathrm{\Xi }}{\partial \beta }+\mu ⟨N⟩$
$⟨N⟩$	Fixé	Fixé	$\frac{1}{\beta }\frac{\partial \ln \mathrm{\Xi }}{\partial \mu }$
Entropie
$S$	$k_B\ln \mathrm{\Omega }$	$-{\frac{\partial F}{\partial T}|}_{V,N}$	$-{\frac{\partial G}{\partial T}|}_{V,\mu }$

Approximation classique/continue

Avant toute chose, on remarquera qu'on peut toujours remplacer une somme sur les micro-états accessibles aux systèmes, par une somme sur toutes les énergies pondérée par leurs dégénérescences notée $g(E_X)$on a alors

$\sum _X\dots =\sum _{E_X}g(E_X)$

Pour un système fini les niveaux d’énergies du système sont en général discrets, cependant pour un système de taille macroscopique la différence entre deux niveaux d'énergies successifs est très petite, si bien que l'on peut remplacer la somme précédente par une intégrale

$\sum _{E_X}g(E_X)\approx \underset{E_0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (E)\mathrm{d}E$

Avec $\rho (E)$ la densité d'état accessibles pour une énergie $E\in [E,E+\delta E]$que l'on peut écrire $\rho (E)=\frac{\mathrm{d}N(E)}{\mathrm{d}E}$où $N(E)$est le nombre d'état d’énergie inférieur ou égale à $E\in [E,E+\delta E]$

$\rho (E)\mathrm{d}E=\{\begin{array}{cc}\prod _{i=1}^{i=N}\frac{\mathrm{d}{𝐫}_i\mathrm{d}{𝐩}_i}{h^{3N}}& \text{si les particules sont discernables}\\ \frac{1}{N!}\prod _{i=1}^{i=N}\frac{\mathrm{d}{𝐫}_i\mathrm{d}{𝐩}_i}{h^{3N}}& \text{si les particules sont indiscernables}\end{array}$

Distributions

De Bose-Einstein

$f_{BE}(ϵ,T)=\frac{1}{\exp \left(\frac{ϵ-\mu (T)}{k_{B}T}\right)-1}$

De Fermi-Dirac

$f_{FD}(ϵ,T)=\frac{1}{\exp \left(\frac{ϵ-\mu (T)}{k_{B}T}\right)+1}$

De Maxwell-Boltzmann

Formule

$f_{MB}(ϵ,T)=\exp (-\frac{ϵ-\mu (T)}{k_{B}T})$

Représentation graphique de la distribution en fonction de la vitesse moléculaire des gaz rares

Gaz parfait

Gaz parfait de fermions

• Nombre de particules
• Énergie moyenne
• Grand potentiel
• Entropie
• Pression
• Énergie de Fermi
• Énergie cinétique totale
• Propriétés à basses températures
• Propriétés à hautes températures

Gaz parfait de bosons

• Nombre de particules
• Energie moyenne
• Grand potentiel
• Entropie
• Pression
• Température de Bose
• Propriétés à T<Tb
• Propriétés à T>Tb