Interpolation d'Hermite

Comparaison graphique entre interpolation lagrangienne (en rouge) et hermitienne (en bleu) de la fonction $x\mapsto x\sin (2x+\frac{\pi }{4})+1$ (en noir) en trois points équidistants -1, 1/2, 2.

En analyse numérique, l'interpolation d'Hermite, nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est une extension de l'interpolation de Lagrange, qui consiste, pour une fonction dérivable donnée et un nombre fini de points donnés, à construire un polynôme qui est à la fois interpolateur (c'est-à-dire dont les valeurs aux points donnés coïncident avec celles de la fonction) et osculateur (c'est-à-dire dont les valeurs de la dérivée aux points donnés coïncident avec celles de la dérivée de la fonction). Cette méthode d'interpolation permet d'éviter les phénomènes de Runge dans l'interpolation numérique ou, plus simplement, de manipuler des polynômes ayant des propriétés proches de celles de la fonction interpolée.

Définition du problème à l'ordre 1

Soit Modèle:Mvar une fonction de classe Modèle:Math d'une variable définie sur un segment Modèle:Math et à valeurs réelles et soient Modèle:Math points Modèle:Math de Modèle:Math distincts deux à deux. L'objectif est de construire un polynôme Modèle:Mvar de degré minimal tel que :

$\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,n\}P(x_i)=f(x_i)\text{et}{P}^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i)$.

Puisque l'on impose Modèle:Math valeurs pour déterminer le polynôme Modèle:Mvar, celui-ci sera donc de degré au plus Modèle:Math.

Construction

Une méthode de construction de Modèle:Mvar consiste à prendre les carrés des polynômes de Lagrange associés aux points Modèle:Math :

$q_i(X)=(L_i(X){)}^2=\prod _{j=0,j\ne i}^n{\left(\frac{X-x_j}{x_i-x_j}\right)}^2$,

de degré Modèle:Math et vérifiant :

$q_i(x_i)=1,q_i^{\prime }(x_i)=\sum _{j=0,j\ne i}^n\frac{2}{x_i-x_j}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{\forall }j\ne i{q}_i^{\prime }(x_j)=q_i(x_j)=0$.

Un polynôme Modèle:Mvar de la forme

$P(X)=\sum _{i=0}^n{q}_i(X)P_i(X)$

satisfait donc les Modèle:Math conditions si et seulement si les polynômes Modèle:Mvar vérifient :

$f(x_i)=P_i(x_i)\mathrm{e}\mathrm{t}{f}^{\prime }(x_i)=P{\text{'}}_i(x_i)+q{\text{'}}_i(x_i)P_i(x_i)$,

ce qui équivaut à :

$P_i(x_i)=f(x_i)\mathrm{e}\mathrm{t}P{\text{'}}_i(x_i)=f^{\prime }(x_i)-q{\text{'}}_i(x_i)f(x_i)$.

La solution la plus simple est de choisir

$P_i(X)=f(x_i)+(X-x_i)(f^{\prime }(x_i)-q{\text{'}}_i(x_i)f(x_i))$

et Modèle:Mvar est alors de degré au plus Modèle:Math.

Unicité

L'unicité du polynôme interpolateur d'Hermite se montre de façon similaire à celle du polynôme interpolateur de Lagrange : soient deux polynômes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar vérifiant les hypothèses voulues. On a donc deux polynômes de degré au plus Modèle:Math dont les valeurs et les dérivées coïncident en Modèle:Math points. Ainsi, Modèle:Math est divisible par Modèle:Math qui est un polynôme de degré Modèle:Math. Puisque Modèle:Math est de degré au plus Modèle:Math, il est forcément nul.

Majoration de l'erreur

L'erreur d'approximation causée par l'interpolation d'Hermite est donnée par le résultat suivant : Modèle:Énoncé Modèle:Démonstration

Ainsi, l'interpolation d'Hermite est d'un ordre très supérieur à celui de l'interpolation lagrangienne (d'ordre Modèle:Math).

Extension aux ordres supérieurs

L'interpolation d'Hermite peut être étendue à l'interpolation des valeurs des dérivées supérieures, en cherchant, pour une fonction Modèle:Mvar de classe Modèle:Math sur Modèle:Math, un polynôme interpolateur Modèle:Mvar vérifiant :

$\mathrm{\forall }k\in \{0,\dots ,n\}\mathrm{\forall }l\in \{0,\dots ,m\}{P}^{(l)}(x_k)=f^{(l)}(x_k)$.

Le polynôme à construire est donc de degré minimal Modèle:Math. Une méthode pour le définir consiste à introduire les polynômes

$H_{k,l}(X)=(X-x_k{)}^l\times Q_{k,l}(X)\times L_k^{m+1}(X)$

où les Modèle:Mvar sont les polynômes de Lagrange définis précédemment et les Modèle:Mvar sont des polynômes de degré Modèle:Math tels que

$H_{k,l}^{(l)}(x_k)=1$ et pour tout Modèle:Mvar tel que $l+1\le q\le m,H_{k,l}^{(q)}(x_k)=0$.

Ainsi, par construction, on a :

$\mathrm{\forall }i,k\in \{0,\dots ,n\}\mathrm{\forall }j,l\in \{0,\dots ,m\}{H}_{k,l}^{(j)}(x_i)={\delta }_{i,k}{\delta }_{j,l}$.

Le polynôme Modèle:Mvar recherché s'écrit alors :

$P=\sum _{k=0}^n\sum _{l=0}^m{f}^{(l)}(x_k)H_{k,l}$.

Cette méthode apporte plus de régularité à l'interpolation. Elle reste cependant d'un faible intérêt pratique au regard des calculs qu'elle implique.

Applications

Modèle:... L'interpolation d'Hermite en deux points est la base des splines cubiques. Voir également l'article Spline cubique d'Hermite.

L'interpolation d'Hermite peut également être utilisée dans la résolution de problèmes aux limites non linéaires.