Matrice hamiltonienne

En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :

$K=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$

et I_n étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, $A$ est hamiltonienne si et seulement si :

$KA-A^T{K}^T=KA+A^{T}K=0.$

Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n² + n.

Propriétés

• Soit $M$ une matrice par bloc 2n×2n donnée par :

  $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$

  où $A,B,C,D$ sont des matrices n×n. Alors $M$ est une matrice hamiltonienne à condition que $B,C$ soient symétriques et que $A+D^T=0$.

• La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
• La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
• Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
• Les valeurs propres de $M$ sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.

L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie $𝔖𝔭(2n)$.

Opérateurs hamiltoniens

Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique $\mathrm{\Omega }$. Une application linéaire $A:V\mapsto V$ est appelée opérateur hamiltonien par rapport à $\mathrm{\Omega }$ si l'application $x,y\mapsto \mathrm{\Omega }(A(x),y)$ est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :

$\mathrm{\Omega }(A(x),y)=-\mathrm{\Omega }(x,A(y))$

Soit une base $e_1,...e_{2n}$ de V telle que $\mathrm{\Omega }$ soit écrite $\sum _i{e}_i\wedge e_{n+i}$. un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à $\mathrm{\Omega }$ si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.

Voir aussi

• Matrice symplectique

Références

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