Lemme de Calderón-Zygmund

En mathématiques, le lemme de Calderón-Zygmund est un résultat fondamental en théorie de Fourier, analyse harmonique, et théorie des Modèle:Lien. Il porte le nom des mathématiciens Alberto Calderón et Antoni Zygmund.

Pour une fonction intégrable donnée $f$ : ℝModèle:Exp→ℂ, où ℝModèle:Exp dénote l'espace euclidien et ℂ dénote l'ensemble des nombres complexes, le lemme de Calderón-Zygmund donne une manière précise de partitionner ℝModèle:Exp en deux ensembles : l'un où $f$ est essentiellement petite ; l'autre constitué d'une collection dénombrable de cubes où $f$ est essentiellement grande, mais où l'on garde un certain contrôle de la fonction.

Ceci conduit à la décomposition de Calderón-Zygmund de $f$ associée à cette partition, dans laquelle $f$ est écrite comme la somme d'une « bonne » et d'une « mauvaise » fonction.

Lemme de Calderón–Zygmund

Lemme de recouvrement

Soient $f$ : ℝModèle:Exp→ℂ une fonction intégrable et $\alpha$ une constante strictement positive. Alors il existe des ensembles $F$ et $\mathrm{\Omega }$ tels que :

1. ${ℝ}^d=F\cup \mathrm{\Omega }$ et $F\cap \mathrm{\Omega }=\varnothing ;$
2. $|f(x)|⩽\alpha$ presque partout dans $F$ ;
3. $\mathrm{\Omega }$ est une union de cubes $Q_k$, dont les intérieurs sont mutuellement disjoints, et tels que pour tout $k$ on ait :

$\alpha <\frac{1}{m(Q_k)}\underset{Q_k}{\int }|f(x)|\mathrm{d}x⩽2^d\alpha .$

Décomposition de Calderón–Zygmund

$f$ étant donnée comme ci-dessus, on peut écrire $f$ comme la somme d'une « bonne » fonction $g$ et d'une « mauvaise » fonction $b$, $f=g+b$. Pour y parvenir, on définit

$g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& x\in F,\\ \frac{1}{m(Q_j)}\underset{Q_j}{\int }f(t)\mathrm{d}t,& x\in Q_j^o,\end{array}$

où $Q_j^o$ dénote l'intérieur de $Q_j$, et on pose $b=f-g$. En conséquence, nous avons :

$b(x)=0$ pour tout $x\in F$

et $\underset{Q_j}{\int }b(x)\mathrm{d}x=0$ pour chaque cube $Q_j.$

La fonction $b$ a ainsi pour support une collection de cubes sur lesquels $f$ est autorisée à être « grande », mais elle a en outre la propriété additionnelle bénéfique que sa valeur moyenne est zéro sur chacun de ces cubes. Simultanément $|g(x)|⩽\alpha$ pour presque tout $x$ dans $F$, et sur chaque cube dans $\mathrm{\Omega }$, $g$ est égal à la valeur moyenne de $f$ sur ce cube, qui grâce au recouvrement choisi est inférieur à $2^d\alpha$.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
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Article connexe

• Lemme du soleil levant