Théorème de Ramsey

En mathématiques, et plus particulièrement en combinatoire, le théorème de Ramsey, dû à Frank Ramsey (en 1930), est un théorème fondamental de la théorie de Ramsey. Il affirme que pour tout n, tout graphe complet suffisamment grand dont les arêtes sont colorées contient des sous-graphes complets de taille n d'une seule couleur. En théorie des ensembles, une de ses généralisations, le théorème de Ramsey infini, permet de définir un type particulier de grand cardinal.

Définitions et énoncé

La théorie de Ramsey est souvent paraphrasée en affirmant qu'on ne peut pas avoir de désordre complet dans une structure assez grande, ou plutôt qu'une telle structure contient nécessairement des sous-structures ayant un certain ordre. Plus précisément, le théorème de Ramsey fini énonce que si l'on impose un tracé en un nombre fixé de couleurs et une taille fixée (par exemple 100), un « dessin » arbitraire suffisamment grand contiendra nécessairement un réseau de cette taille, donc formé de 100 traits adjacents, tous colorés de la même couleur. Un énoncé plus rigoureux demande un peu de vocabulaire de la théorie des graphes, rappelé ci-dessous.

Le graphe complet à cinq sommets KModèle:Ind.

Un graphe complet d'ordre n est un graphe simple non orienté ayant n sommets et dans lequel toute paire de sommets est reliée par une arête (il y a donc Modèle:Nobr arêtes). Une coloration (des arêtes) d'un graphe est une application de l'ensemble des arêtes du graphe vers un ensemble de c « couleurs » ; une telle application sera appelée une c-coloration. Un graphe ainsi coloré est monochromatique si chaque arête a pour image la même couleur.

Avec ces définitions, on a : Modèle:Théorème Le plus petit entier N ayant cette propriété est noté R(nModèle:Ind, nModèle:Ind, … , nModèle:Ind).

Exemple : calcul de R(3,3) = 6

Une 2-coloration de KModèle:Ind sans aucun KModèle:Ind monochromatique.

Soit une 2-coloration en rouge et bleu du graphe complet à six sommets KModèle:Ind. Cinq arêtes de ce graphe partent d'un sommet quelconque v, et donc, d'après le principe des tiroirs, trois d'entre elles au moins (mettons {v, r}, {v, s} et {v, t}) sont de la même couleur, qu'on peut supposer bleue sans perte de généralité. Si l'une des arêtes {r, s}, {r, t} ou {s, t} est également bleue, le triangle correspondant ({v, r, s} dans le premier cas) est entièrement bleu ; sinon, c'est le triangle formé par ces trois arêtes ({r, s, t}) qui est entièrement rouge. On vient donc de montrer que tout KModèle:Ind 2-coloré contient un KModèle:Ind monochromatique, et donc que R(3, 3) est inférieur ou égal à 6.

On peut également démontrer ce résultat par double dénombrement (ce qui permet de le généraliser) : on compte le nombre de triplets (ordonnés) de sommets (x, y, z) tels que l'arête {x, y} soit rouge et l'arête {y, z} bleue. Chaque sommet n'appartient à aucun tel triplet si les cinq arêtes partant de ce sommet sont de la même couleur, appartient à 1 × 4 = 4 triplets si quatre arêtes sont d'une même couleur, et à 2 × 3 = 6 triplets si trois arêtes sont d'une des couleurs et deux de l'autre. Il y a donc au plus 6 × 6 = 36 triplets de ce type. Or chaque triangle {x, y, z} non monochromatique contribue pour exactement 2 tels triplets. Il y a donc au plus 18 triangles non monochromatiques, et comme KModèle:Ind contient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=20$ triangles, deux d'entre eux au moins sont monochromatiques.

On peut réinterpréter ce résultat sous la forme suivante : dans tout graphe ayant au moins 6 sommets, trois d'entre eux sont connectés deux à deux, ou trois d'entre eux n'ont aucune connexion.

Cette question est fréquemment proposée sous forme d'un problème de mathématiques récréatives ; la version précédente est souvent formulée en termes de « Théorème des amis et des étrangers » car dans une assemblée de six personnes trois d'entre elles se connaissent mutuellement ou trois d'entre elles s'ignorent mutuellement.

En revanche, il est possible de 2-colorer KModèle:Ind sans aucun KModèle:Ind monochromatique (une telle coloration, unique à isomorphisme près, est montrée à droite), ce qui démontre que R(3, 3) > 5.

Ainsi, R(3, 3) = 6.

Démonstration du théorème de Ramsey

Cas de deux couleurs

Dans le cas d'une 2-coloration, on va raisonner par récurrence sur r + s. La définition implique clairement que, pour tout n, R(n, 1) = R(1, n) = 1. Montrons que R(r, s) existe en en donnant un majorant explicite. On suppose (hypothèse de récurrence) que R(r − 1, s) et R(r, s − 1) existent. On va montrer (Lemme 1) que R(r, s) ≤ R(r − 1, s) +R(r, s − 1)

Démonstration du lemme. Considérons un graphe complet 2-coloré ayant R(r − 1, s) + R(r, s − 1) sommets. Choisissant un sommet v, on définit une partition des autres sommets en deux ensembles M et N par « w appartient à M si (v, w) est bleue » et « w appartient à N si (v, w) est rouge ». Le graphe ayant R(r − 1, s) + R(r, s − 1) = |M| + |N| + 1 sommets, on a |M| ≥ R(r − 1, s) ou |N| ≥ R(r, s − 1). Dans le premier cas, si M contient un KModèle:Ind monochromatique rouge, il en est du même du graphe initial ; sinon, M contient un KModèle:Ind monochromatique bleu, et donc M ∪ {v} contient un KModèle:Ind bleu par définition de M. Échangeant les couleurs, on a le même résultat (pour N) dans le second cas. Le lemme est donc démontré, ce qui achève par récurrence la démonstration du théorème pour deux couleurs.

Remarque : dans la démonstration précédente, si R(r − 1, s) et R(r, s − 1) sont tous deux pairs, on peut légèrement améliorer l'inégalité du lemme, obtenant R(r, s) ≤ R(r − 1, s) + R(r, s − 1) − 1.

Cas général

Le cas général se démontre également par récurrence, cette fois sur le nombre c de couleurs. Le résultat est trivial pour c = 1 et vient d'être démontré pour c = 2. Si c > 2, on va montrer l'inégalité suivante (Lemme 2) : R(nModèle:Ind, … , nModèle:Ind) ≤ R(nModèle:Ind, … , nModèle:Ind, R(nModèle:Ind, nModèle:Ind)).

Démonstration du lemme. Soit une c-coloration du graphe complet KModèle:Ind ayant t sommets, où t = R(nModèle:Ind, … , nModèle:Ind, R(nModèle:Ind, nModèle:Ind)). Identifiant les couleurs c − 1 et c, on obtient une (c-1)-coloration du graphe qui, d'après l'hypothèse de récurrence, contient soit un KModèle:Ind monochromatique de couleur i avec 1 ≤ i ≤ c − 2, soit un KModèle:Ind de la couleur obtenue par identification. Le premier cas satisfait le lemme ; dans le second, on est donc ramené à un problème de 2-coloration et, par définition de R(nModèle:Ind, nModèle:Ind), on doit avoir soit un KModèle:Ind (c − 1)-monochrome, soit un KModèle:Ind c-monochrome. Dans les deux cas, ceci achève la démonstration du lemme. Par récurrence, le cas général est donc prouvé.

Nombres de Ramsey

Les nombres R(r, s), et leurs extensions à un nombre de couleurs quelconque, sont appelés des nombres de Ramsey. Un majorant pour R(r, s) peut être déduit de la démonstration précédente ; d'autres arguments donnent des minorants (le premier fut obtenu par Paul Erdős à l'aide de la méthode probabiliste, qu'il développa à cette occasion).

Cependant, il reste un écart important entre les meilleurs minorants et majorants connus et il n'y a que très peu de couples (r, s) pour lesquels on a pu déterminer la valeur exacte de Modèle:Nobr En général, déterminer un minorant L pour R(r, s) revient à exhiber une 2-coloration du graphe KModèle:Ind ne contenant aucun KModèle:Ind bleu et aucun KModèle:Ind rouge ; une telle coloration du graphe KModèle:Ind est souvent appelée un graphe (r, s, n). Des majorants sont souvent plus difficiles à établir : on doit, soit contrôler toutes les colorations possibles pour vérifier qu'il n'y a pas de contre-exemple, soit découvrir un argument mathématique prouvant qu'il n'y en a pas. Bien que des programmes informatiques sophistiqués évitent d'envisager toutes les 2-colorations possibles (par exemple en utilisant des arguments de symétrie, ou des techniques d'exploration d'arbres), la recherche de contre-exemples, ou la preuve par recherche exhaustive qu'il n'en existe pas, est une tâche que les logiciels existant ne peuvent accomplir que pour des graphes de petite taille : la complexité d'une recherche exhaustive est en effet, pour un graphe de n sommets, de l'ordre de O(2Modèle:Exp) (en utilisant la notation de Landau)Modèle:,.

Comme démontré plus haut, R(3, 3) = 6. Il est facile de voir que R(4, 2) = 4 et, plus généralement, que R(s, 2) = s pour tout s (un graphe monochromatique de s − 1 sommets montre que R(s, 2) ≥ s ; un graphe de s sommets non entièrement rouge contient une arête bleue, donc un KModèle:Ind monochromatique). Utilisant alors le lemme 1 de la démonstration précédente, on voit que Modèle:Nobr et donc que R(4, 4) ≤ R(4, 3) + R(3, 4) ≤ 18. Parmi les 6,4.10Modèle:22 2-colorations du graphe complet à 16 sommets (identifiées aux graphes non orientés quelconques à 16 sommets, en convenant qu'on colorie en bleu une arête si elle relie deux sommets du graphe non orienté, et en rouge sinon), il n'y a (à isomorphisme près) que deux graphes (4, 4, 16) (c'est-à-dire des 2-colorations du graphe complet KModèle:Ind sans aucun KModèle:Ind monochromatique) et un seul graphe (4, 4, 17) (le graphe de Paley d'ordre 17) parmi les 2,46.10Modèle:26 2-colorations de KModèle:Ind (ces nombres montrent bien la difficulté d'une recherche exhaustive) ; ce résultat fut démontré par Evans, Pulham et Sheehan en 1979. Il en résulte que R(4, 4) = 18. Enfin, R(4, 5) = 25.

On ignore la valeur exacte de R(5, 5), mais on sait depuis 1997 qu'elle est comprise entre 43 et 49Modèle:, (en 2017, cet encadrement a été légèrement amélioré : on sait désormais que R(5,5) est inférieur ou égal à 48) ; il est cependant conjecturé que 43 est la vraie valeur. Erdős a illustré la difficulté d'une détermination exacte en demandant d'imaginer qu'une armée extra-terrestre bien plus puissante que nous débarque et demande la valeur de R(5, 5), faute de quoi ils détruiront notre planète. Dans ce cas, dit-il, nous devrions mobiliser tous nos ordinateurs et tous nos mathématiciens dans l'espoir de déterminer ce nombre. Mais s'ils nous demandaient R(6, 6), nous ferions mieux d'essayer de détruire les extra-terrestres.

McKay, Radziszowski et Exoo ont employé des méthodes de construction de graphe assistée par ordinateur pour formuler en 1997 la conjecture selon laquelle R(5, 5) vaut exactement 43. Ils construisirent une liste de 656 graphes de type (5, 5, 42), et arrivèrent à la même liste par plusieurs méthodes distinctes, les amenant à conjecturer que leur liste est complète ; aucun de ces 656 graphes ne peut être étendu à un graphe (5, 5, 43).

Pour R(r, s) avec r, s > 5, on ne connait que des bornes assez lâches. Les minorants pour R(6, 6) et R(8, 8) n'ont d'ailleurs pas été améliorés depuis, respectivement, 1965 et 1972.

La table suivante donne R(r, s) pour les valeurs de r et s jusqu'à 10 (avec r ≤ s, la table étant symétrique puisque R(r, s) = R(s, r)). Lorsque la valeur exacte n'a pas été déterminée, la table donne le meilleur encadrement connu.

r,s	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1
2	1	2
3	1	3	6
4	1	4	9	18
5	1	5	14	25	43–48
6	1	6	18	36–41	58–87	102–165
7	1	7	23	49–61	80–143	113–298	205–540
8	1	8	28	58–84	101–216	132–495	217–1031	282–1870
9	1	9	36	73–115	126–316	169–780	241–1713	317–3583	565–6588
10	1	10	40–42	92–149	144–442	179–1171	289–2826	331–6090	581–12677	798–23556

Comportement asymptotique

L'inégalité R(r, s) ≤ R(r − 1, s) + R(r, s − 1) implique par récurrence que

$R(r,s)\le (\genfrac{}{}{0ex}{}{r+s-2}{r-1}).$

Ce résultat, dû à Paul Erdős et George Szekeres, donne en particulier, lorsque r = s, que

$R(s,s)\le (1+o(1))\frac{4^{s-1}}{\sqrt{\pi s}}.$

Un minorant exponentiel,

$R(s,s)\ge (1+o(1))\frac{s}{\sqrt{2}\mathrm{e}}{2}^{\frac{s}{2}},$

fut obtenu par Erdős en 1947 et joua un rôle essentiel dans son introduction de la méthode probabiliste en combinatoire. L'écart entre ces deux bornes est important : pour s = 10, par exemple, on en déduit que 101 ≤ R(10, 10) ≤ Modèle:Nombre. Cependant, l'ordre de croissance exponentielle n'a pu être amélioré depuis cette époque (on a seulement des résultats équivalents à $(\ln 2)n<2\ln R(n,n)<(4\ln 2)n$) ; de plus, on ne connait pas de construction explicite de graphes (n, n, L) (justifant le minorant L) pour lesquels L serait une fonction exponentielle de n. Les meilleures bornes actuellement connues de ces nombres de Ramsey diagonaux sontModèle:, :

$(1+o(1))\frac{\sqrt{2}s}{\mathrm{e}}{2}^{\frac{s}{2}}\le R(s,s)\le s^{-\frac{c\log s}{\log \log s}}{4}^s.$

On a pu établir que les nombres de Ramsey R(3, t) sont d'ordre $\mathrm{\Theta }(\frac{t^2}{\log t})$ ; ce résultat est équivalent à dire que le plus petit stable dans un graphe sans triangle à n sommets est d'ordre $\mathrm{\Theta }(\sqrt{n\log n})$. Plus généralement, pour R(s, t) avec s fixé et t tendant vers l'infini, les meilleures bornes connues sont :

$c{\text{'}}_s\frac{t^{\frac{s+1}{2}}}{(\log t{)}^{\frac{s+1}{2}-\frac{1}{s-2}}}\le R(s,t)\le c_s\frac{t^{s-1}}{(\log t{)}^{s-2}}.$

Un exemple à trois couleurs : R(3,3,3) = 17

Les deux seules 3-colorations de KModèle:Ind ne contenant pas de triangles monochromatiques, la coloration sans torsion (en haut) et la coloration tordue (en bas).

R(3, 3, 3) est le seul nombre de Ramsey (non trivial) correspondant à plus de deux couleurs dont on connait la valeur exacte : R(3, 3, 3) = 17.

Démonstration

Partons d'une 3-coloration (en rouge, vert et jaune) d'un graphe complet KModèle:Ind ne contenant pas de triangle monochromatique, et fixons un sommet v ; le voisinage vert de v, noté V, est le sous-graphe de KModèle:Ind dont les sommets sont les u tels que l'arête {u,v} soit verte. V ne peut contenir d'arête verte (sinon un triangle vert serait formé de cette arête et des deux arêtes la reliant à v). V est donc 2-coloré en rouge et jaune, et ne contient pas de triangle monochromatique ; comme R(3, 3) = 6, V a au plus 5 sommets. Raisonnant de même sur les voisinages rouges et jaunes de v, on voit qu'ils contiennent également 5 sommets au plus, et donc en définitive que le graphe complet peut avoir au plus 1 + 5 + 5 + 5 = 16 sommets ; ainsi, R(3, 3, 3) ≤ 17.

Pour montrer que R(3, 3, 3) ≥ 17, il suffit d'exhiber une 3-coloration de KModèle:Ind ne contenant pas de triangles monochromatiques. À isomorphisme près, il en existe exactement 2, représentés à droite (dans ces tracés, les sommets numérotés vModèle:Ind à vModèle:Ind ont été dupliqués à droite et à gauche pour faciliter la lisibilité).

En définitive, R(3, 3, 3) = 17.

Le graphe de Clebsch.

Dans les deux 3-colorations précédentes, les trois sous-graphes formés des arêtes d'une seule couleur sont isomorphes au graphe de Clebsch.

Généralisations du théorème

Paul Erdős et Leo Moser définissent des nombres analogues (encore appelés nombres de Ramsey) pour des graphes orientés. Ils démontrent pour tout n l'existence d'un entier Q tel que tout graphe complet orienté (encore appelé un tournoi) ayant Q sommets contienne un sous-graphe acyclique à n sommets, et notent R(n) le plus petit de ces entiers (l'analogie avec R(n, n ; 2) consiste à considérer chaque direction comme une couleur ; un graphe acyclique est alors un graphe dans lequel les arêtes ont toutes « la même direction », donc un graphe monochromatique). On obtient R(1) = 1, R(2) = 2, R(3) = 4, R(4) = 8, R(5) = 14, R(6) = 28, 32 ≤ R(7) ≤ 55 ; la détermination exacte de R(8) est un autre problème que, comme Erdős pour R(5, 5), on n'aimerait pas voir posé par de puissants extra-terrestres.

Le théorème de Ramsey s'étend également aux hypergraphes. Un m-hypergraphe est une généralisation des graphes consistant à appeler « arêtes » des ensembles de m sommets – les graphes ordinaires sont donc des 2-hypergraphes. Le résultat de Ramsey est que pour tout m et c, et toute suite nModèle:Ind, … , nModèle:Ind, il existe un entier R(nModèle:Ind, … , nModèle:Ind ; c, m) tel que pour toute c-coloration d'un m-hypergraphe complet d'ordre R(nModèle:Ind, … , nModèle:Ind ; c, m), il existe un i et un sous-hypergraphe complet d'ordre nModèle:Ind monochromatique de couleur i. La démonstration se fait par récurrence sur m, en partant du cas m = 2 des graphes ordinaires.

Enfin, de nombreuses variantes du théorème sont obtenues en exigeant des conditions supplémentaires sur les sous-graphes monochromatiques dont il garantit l'existence, ou en remplaçant les graphes complets par d'autres structures ; cet ensemble de résultats constitue la théorie de Ramsey. Ainsi, le théorème de van der Waerden (dont le théorème de Szemerédi est une généralisation) est obtenu en remplaçant « graphe complet » par « progression arithmétique » ; un autre exemple célèbre est, en identifiant les sommets du graphe KModèle:Ind à ceux d'un hypercube, la démonstration que, pour toute 2-coloration, il existe un sous-graphe KModèle:Ind monochromatique dont les quatre sommets sont coplanaires, si n est supérieur au nombre de Graham.

Le théorème de Ramsey infini

Un résultat analogue, encore appelé théorème de Ramsey (ou théorème de Ramsey infini lorsque le contexte n'est pas clair), s'applique aux graphes infinis. Les représentations graphiques étant moins parlantes dans ce cas, les résultats de ce type sont généralement formulés dans le langage de la théorie des ensembles. On note ici EModèle:Exp (pour tout ensemble E et tout entier n) l'ensemble des parties de E de taille n et, en appelant « coloration finie » d'un ensemble une partition finie de cet ensemble, une partie est dite « monochrome » si elle est incluse dans l'une des classes de la partition (appelées « couleurs »).

Démonstration

Soit c le nombre de couleurs. On raisonne par récurrence sur n. Si n = 1, l'énoncé est vrai car dans toute partition finie d'un ensemble infini, l'un des sous-ensembles est infini. Supposons le théorème vrai pour n ≤ r, et montrons-le pour n = r + 1. Étant donné une c-coloration P de XModèle:Exp, soit aModèle:Ind un élément de X et Y = X\{aModèle:Ind}. P induit une c-coloration PModèle:' de YModèle:Exp définie par : la PModèle:'-couleur d'une partie s de Y est la P-couleur de s∪{aModèle:Ind}. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe un sous-ensemble infini YModèle:Ind de Y tel que YModèle:IndModèle:Exp soit monochrome. Il y a donc un élément aModèle:Ind et un ensemble infini YModèle:Ind tels que tous les sous-ensembles à r + 1 éléments de X formés de aModèle:Ind et de r éléments de YModèle:Ind ont la même couleur. Le même argument montre qu'il y a un élément aModèle:Ind de YModèle:Ind et un sous-ensemble infini YModèle:Ind de YModèle:Ind avec la même propriété, et donc, par récurrence, on obtient une suite infinie (aModèle:Ind, aModèle:Ind, aModèle:Ind, …) telle que la couleur de n'importe quel sous-ensemble à r + 1 éléments de la forme (aModèle:Ind, aModèle:Ind, … , aModèle:Ind) avec i(1) < i(2) < … < i(r + 1) dépend seulement de i(1). Il y a de plus un nombre infini de valeurs i(n) pour lesquelles cette couleur sera la même. L'ensemble de ces aModèle:Ind est par construction un ensemble ayant la propriété cherchée.

Ce théorème est à l'origine de la notion de cardinal de Ramsey (qu'on démontre être nécessairement un grand cardinal). Soit κ un nombre cardinal infini, [κ]Modèle:Exp l'ensemble des sous-ensembles finis de κ ; on dit que κ est un cardinal de Ramsey (ou simplement que κ est Ramsey) si, pour toute application f de [κ]Modèle:Exp dans l'ensemble {0, 1}, il existe un sous-ensemble A de κ ayant le même cardinal que κ qui est homogène pour f, c'est-à-dire que pour tout n, f est constante sur les sous-ensembles de A de cardinal n. Autrement dit, il s'agit d'un cardinal (non dénombrable) pour lequel le théorème de Ramsey (reformulé convenablement et un peu renforcé) est encore vrai.

Le cas infini implique le cas fini

On peut déduire le théorème fini de la version infinie en raisonnant par l'absurde, ou plutôt par contraposition. Supposons que le théorème fini soit faux. Il existe des entiers c, n, T tels que pour tout entier k, il existe une c-coloration de {1, 2, … , k}Modèle:Exp sans ensemble monochromatique de cardinal T. Soit CModèle:Ind l'ensemble de ces c-colorations.

Pour tout k, la restriction d'une coloration de CModèle:Ind à {1, 2, … , k}Modèle:Exp obtenue en ignorant les ensembles contenant k + 1 est une coloration de CModèle:Ind. Définissant CModèle:1Modèle:Ind comme l'ensemble des colorations de CModèle:Ind qui sont des restrictions de colorations dans CModèle:Ind, on voit que CModèle:1Modèle:Ind n'est pas vide, puisque CModèle:Ind ne l'est pas.

De même, la restriction d'une coloration dans CModèle:1Modèle:Ind est dans CModèle:1Modèle:Ind, ce qui permet de définir CModèle:2Modèle:Ind comme l'ensemble non vide de ces restrictions ; par récurrence, on peut donc définir CModèle:ExpModèle:Ind pour tous les entiers m et k.

On a donc pour tout k la suite décroissante $C_k\supseteq C_k^1\supseteq C_k^2\supseteq \dots$, et tous les ensembles de cette suite sont non vides. De plus, CModèle:Ind est fini (de cardinal inférieur ou égal à $c^{\frac{k!}{n!(k-n)!}}$). Il en résulte que la suite est stationnaire, et que $D_k=C_k\cap C_k^1\cap C_k^2\cap \dots$ est non vide. Ainsi, toute coloration de DModèle:Ind est la restriction d'une coloration dans DModèle:1Modèle:Ind. Remontant alors en prolongeant une coloration de DModèle:Ind à DModèle:Ind, puis à DModèle:Ind, et ainsi de suite, on construit une coloration de ${\mathbb{N}}^{(n)}$ sans aucun ensemble monochromatique de cardinal T. Ceci est la contradiction cherchée avec le théorème de Ramsey infini ; par contraposition, ce dernier entraîne le cas fini.

D'un point de vue topologique, ce raisonnement peut s'interpréter comme un argument de compacité.

Historique et applications

Frank Ramsey a publié ce théorème dans l'article On a problem of formal logic Modèle:Harv. L'article en question est un article de logique mathématique et le théorème était au départ une étape du raisonnement. Le résultat a été popularisé par Paul Erdős, notamment dans l'article A combinatorial problem in geometry Modèle:Harv.

Le théorème de Ramsey est utilisé entre autres en informatique théorique, par exemple pour montrer des bornes sur l'efficacité des structures de données.

Bibliographie

• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article.
• Modèle:Chapitre`.
• Modèle:Ouvrage.

Voir aussi

Articles connexes

• Coloration de graphe
• Théorème des amis et des étrangers
• Graphe d'amitié
• Théorème de Paris-Harrington

Liens externes

• Modèle:EncycloMath
• Modèle:MathWorld (bornes pour tous les nombres de Ramsey jusqu'à R(19,19))
• Modèle:En Ramsey Numbers – Geoffrey Exoo (Le contre-exemple montrant que R(5,5) > 42)
• Modèle:Article
• Modèle:Article