Rampe (fonction)

Modèle:Homon La fonction rampe (ou rampe) est la fonction réelle élémentaire définie par :

$R:ℝ\to ℝ,x\mapsto \{\begin{array}{cc}x& \text{si }x\ge 0,\\ 0& \text{si }x<0.\end{array}$

Cette fonction trouve son application en ingénierie, par exemple dans la théorie du traitement du signal.

Graphe de la fonction rampe.

Définitions

La fonction rampe ($R:ℝ\to ℝ$) peut être définie de différentes autres façons :

• la moyenne arithmétique de la variable et de la valeur absolue de celle-ci.$R(x):=\frac{x+|x|}{2}$

  Ceci peut se déduire de la définition de la fonction $\max (a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$, avec $a=x$ et $b=0$ ;

• la fonction de Heaviside multipliée par l'application identité :

$R\left(x\right):=xH\left(x\right)$ ;

• la convolution de la fonction de Heaviside avec elle-même :

$R\left(x\right):=(H*H)\left(x\right)$ ;

• l'intégrale de la fonction de Heaviside :

$R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi$.

Propriétés analytiques

• La fonction rampe est positive sur la droite réelle, et même nulle pour tout réel négatif.
• Sa dérivée est la fonction de Heaviside :

  $R^{\prime }(x)=H(x)\mathrm{s}\mathrm{i}x\ne 0$.

• Sa transformée de Fourier vaut

  $ℱR(f)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}R(x){\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi fx}=\frac{\mathrm{i}{\delta }^{\prime }(f)}{4\pi }-\frac{1}{4{\pi }^2{f}^2}$,

  où δ' désigne la dérivée de la distribution de Dirac.

• Sa transformée de Laplace vaut

  $ℒR(s)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}R(x){\mathrm{e}}^{-sx}\mathrm{d}x=\frac{1}{s^2}$.