Branche parabolique

Branches paraboliques
d'axe Ox - Courbe bleue : Modèle:Math,
d'axe Oy - Courbe rouge : Modèle:Math,
d'axe d : Modèle:Mvar - Courbe noire : Modèle:Math.

Dans l'étude des courbes planes, il existe parfois des points de la courbe qui s'éloignent infiniment de l'origine du repère. L'étude de ces courbes dans ces zones s'appelle l'étude des branches infinies. Quand la courbe semble regarder dans une direction mais tout en s'en éloignant, on dit que la courbe possède une branche parabolique dont l'axe est donné par la direction que regarde la courbe.

Ce nom provient du fait que la portion de courbe ressemble alors à une portion de parabole.

Courbe représentative d'une fonction

On considère une fonction Modèle:Mvar définie au voisinage de plus ou moins l'infini.

On dit que la courbe représentative de Modèle:Mvar possède une branche parabolique d'axe (Oy) en plus l'infini (Modèle:Resp. moins l'infini) si le quotient de Modèle:Math par Modèle:Mvar tend vers l'infini en plus l'infini (Modèle:Resp. en moins l'infini) :

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\pm \mathrm{\infty }\mathrm{o}\mathrm{u}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\pm \mathrm{\infty }$.

On dit que la courbe représentative de Modèle:Mvar possède une branche parabolique d'axe d : Modèle:Mvar si le quotient de Modèle:Math par Modèle:Mvar tend vers un réel Modèle:Mvar mais que Modèle:Math tend vers l'infini

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=a\mathrm{o}\mathrm{u}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}=a$

et

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)-ax=\pm \mathrm{\infty }\mathrm{o}\mathrm{u}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)-ax=\pm \mathrm{\infty }$.

Si la limite de Modèle:Math est plus l'infini, la courbe regarde l'axe par au-dessus ; si la limite est moins l'infini, la courbe regarde l'axe par en dessous.

Courbe paramétrée

On considère une courbe paramétrée d'équation

$x=x(t)$

$y=y(t)$

définie au voisinage de Modèle:Math (fini ou infini).

On recherche des branches paraboliques si

$\underset{t\to t_0}{\lim }x(t)=\pm \mathrm{\infty }\mathrm{e}\mathrm{t}\underset{t\to t_0}{\lim }y(t)=\pm \mathrm{\infty }$.

La courbe possède une branche parabolique d'axe (Oy) si

$\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{y(t)}{x(t)}=\pm \mathrm{\infty }$.

La courbe possède une branche parabolique d'axe d : Modèle:Mvar si

$\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{y(t)}{x(t)}=a$

et

$\underset{t\to t_0}{\lim }y(t)-ax(t)=\pm \mathrm{\infty }$.

Équation polaire

Courbe d'équation polaire $\rho (\theta )=\frac{16}{(4\theta -\pi {)}^2}$ et sa branche parabolique d'axe d : Modèle:Mvar.

On considère une courbe d'équation polaire

$\rho =\rho (\theta )$,

c'est-à-dire l'ensemble des points Modèle:Math tels que

$x=\rho (\theta )\cos (\theta )$

$y=\rho (\theta )\sin (\theta )$

définie au voisinage de Modèle:Math.

On recherche des branches paraboliques si

$\underset{\theta \to {\theta }_0}{\lim }\rho (\theta )=\pm \mathrm{\infty }$.

La courbe possède une branche parabolique de direction faisant un angle Modèle:Math avec l'axe des Modèle:Mvar si

$\underset{\theta \to {\theta }_0}{\lim }\rho (\theta )\sin (\theta -{\theta }_0)=\pm \mathrm{\infty }$.

Voir aussi

Asymptote