Inégalité de Kolmogorov

L'inégalité de Kolmogorov, due à Andreï Kolmogorov, est une étape essentielle de sa démonstration de la loi forte des grands nombres, un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités. C'est l'étape où il utilise l'hypothèse d'indépendance (et, sans le dire, la notion de temps d'arrêt).

Démonstration

Si $\sum _{n\ge 1}\text{Var}\left(Y_n\right)=+\mathrm{\infty }$, l'inégalité est vérifiée. Dans la suite, on suppose que

$\sum _{n\ge 1}\text{Var}\left(Y_n\right)<+\mathrm{\infty }.$

On pose

$\sigma =\{\begin{array}{ccc}+\mathrm{\infty }& & \text{si }\{k\ge 1|\left|W_k\right|>x\}=\mathrm{\varnothing },\\ & & \\ \inf \{k\ge 1|\left|W_k\right|>x\}& & \text{sinon.}\end{array}$

On remarque alors que, pour $k\le n$,

$W_k{1}_{\sigma =k}\mathrm{\perp }{W}_n-W_k.$

En effet $W_n-W_k=Y_{k+1}+Y_{k+2}+\dots +Y_n$, alors que

$\begin{array}{cc}\{\sigma =k\}& =\{\left|W_1\right|\le x,\left|W_2\right|\le x,\dots ,\left|W_{k-1}\right|\le x\text{ et }\left|W_k\right|>x\}\\ & =\{\left|Y_1\right|\le x,|Y_1+Y_2|\le x,\dots ,|Y_1+\dots +Y_{k-1}|\le x\text{ et }|Y_1+\dots +Y_k|>x\}.\end{array}$

Ainsi pour deux boréliens quelconques $A$ et $B$, les deux évènements

$\{W_k{1}_{\sigma =k}\in A\}\text{ et }\{W_n-W_k\in B\}$

appartiennent aux tribus $\sigma (Y_1,Y_2,\dots ,Y_k)$ et $\sigma (Y_{k+1},Y_{k+2},\dots ,Y_n)$, respectivement. Ils sont donc indépendants en vertu du lemme de regroupement, ce qui implique bien $W_k{1}_{\sigma =k}\mathrm{\perp }{W}_n-W_k$. On a

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n\text{Var}\left(Y_k\right)& =\text{Var}\left(W_n\right)=𝔼\left[W_n^2\right]\\ & \ge 𝔼\left[W_n^2{1}_{\sigma <+\mathrm{\infty }}\right]\\ & =\sum _{k\ge 1}𝔼\left[W_n^2{1}_{\sigma =k}\right]\\ & \ge \sum _{k=1}^n𝔼\left[W_n^2{1}_{\sigma =k}\right]\\ & =\sum _{k=1}^n𝔼\left[{(W_n-W_k+W_k)}^2{1}_{\sigma =k}\right]\\ & \ge \sum _{k=1}^n𝔼\left[W_k^2{1}_{\sigma =k}\right]+2𝔼[W_n-W_k]𝔼\left[W_k{1}_{\sigma =k}\right]\\ & =\sum _{k=1}^n𝔼\left[W_k^2{1}_{\sigma =k}\right]\\ & \ge \sum _{k=1}^n𝔼\left[x^2{1}_{\sigma =k}\right]\\ & =x^2\mathbb{P}(\sigma \le n),\end{array}$

où la troisième inégalité s'obtient en développant le carré en deux termes carrés (dont l'un est supprimé pour minorer l'expression précédente) et un double produit (de deux variables indépendantes, en vertu de $W_k{1}_{\sigma =k}\mathrm{\perp }{W}_n-W_k$). L'égalité suivante tient à ce que $W_n-W_k$ est centrée (comme somme de v.a. centrées), et la dernière inégalité découle de la définition du temps d'arrêt $\sigma$ : par définition, au temps $\sigma$, on a $W_{\sigma }>x$. En faisant tendre $n$ vers l'infini on obtient

$\begin{array}{cc}\sum _{k\ge 1}\text{Var}\left(Y_k\right)& \ge x^2\mathbb{P}(\sigma <+\mathrm{\infty }),\\ & =x^2\mathbb{P}(\{k\ge 1|\left|W_k\right|>x\}\ne \mathrm{\varnothing }),\\ & =x^2\mathbb{P}(\sup \{\left|W_n\right||n\ge 1\}>x),\end{array}$

C.Q.F.D.