11-cage de Balaban

Modèle:Infobox Graphe La 11-cage de Balaban (ou (3-11)-cage de Balaban) est, en théorie des graphes, un graphe régulier possédant 112 sommets et 168 arêtes.

Il porte le nom du mathématicien A. T. Balaban qui en a publié la description en 1973.

Propriétés

Propriétés générales

La 11-cage de Balaban est une (3,11)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 11 et étant régulier de degrés 3. C'est en fait l'unique (3-11)-cage. Cette unicité a été prouvée par McKay et Myrvold en 2003.

Le diamètre de la 11-cage de Balaban, l'excentricité maximale de ses sommets, est 8, et son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté, il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration

Le nombre chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique de la 11-cage de Balaban est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes de la 11-cage de Balaban est un groupe d'ordre 64.

Le polynôme caractéristique de la 11-cage de Balaban est : $(x-3)x^{12}(x^2-6{)}^5(x^2-2{)}^{12}(x^3-x^2-4x+2{)}^2$ $(x^3+x^2-6x-2)(x^4-x^3-6x^2+4x+4{)}^4(x^5+x^4-8x^3-6x^2+12x+4{)}^8$.

Représentations

• 
  Représentation du nombre chromatique de la 11-cage de Balaban : 3.
• 
  Représentation de l'indice chromatique de la 11-cage de Balaban : 3.
• 
  Représentation alternative du graphe.

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes
• Cage (graphe)
• 10-cage de Balaban

Liens externes

• Modèle:En Balaban 11-cage (MathWorld)