Analyse canonique à noyaux

Modèle:Ébauche L'analyse canonique à noyaux, parfois aussi nommé analyse à noyaux des corrélations canoniques, (kernel canonical correlation analysis en anglais, d'où KCCA) étend l'analyse canonique ordinaire grâce à l'astuce du noyau.

Définition Mathématiques

Supposons que nous avons X et Y deux matrices, celle ci vont être transformé dans deux espaces de Hilbert, ${\varphi }_x(X)\in H_x$ et ${\varphi }_y(X)\in H_y$. Le but est alors de trouver le a et le b tel que, si $U=(a|{\varphi }_x(X))$ et $V=(b|{\varphi }_y(Y))$, la corrélation sera maximale entre U et V.

Nous pouvons l'écrire de la manière suivante :

$a=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\varphi }_x\left(x_i\right)b=\sum _{i=1}^n{\beta }_i{\varphi }_y\left(y_i\right)$

$U=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i({\varphi }_x\left(x_i\right)|{\varphi }_x\left(X\right))V=\sum _{i=1}^n{\beta }_i({\varphi }_y\left(y_i\right)|{\varphi }_y\left(Y\right)).$

Par le théorème de Mercer, les produits scalaires $({\varphi }_x\left(x_i\right)|{\varphi }_x\left(X\right))$ et $({\varphi }_y\left(y_i\right)|{\varphi }_y\left(Y\right))$ peuvent être remplacé par des noyaux ${\left(K_x\right)}_{ij}=K_{h_x}(x_i,x_j)$ et ${\left(K_y\right)}_{ij}=K_{h_y}(y_i,y_j)$.

On peut alors calculer $\alpha ={({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)}^T$ et $\beta ={({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)}^T$ comme les solutions du problème aux valeurs propres généralisé suivant :

$\left(\begin{array}{cc}0& K_x{K}_y\\ K_y{K}_x& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cc}{K}_x{K}_x& 0\\ 0& K_y{K}_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right).$

Liens avec d'autres méthodes

Elle peut être vue comme la composition de deux analyses en composantes principales à noyaux avec une analyse d'une analyse canonique des corrélations classique.

Voir aussi

Articles connexes

Liens internes

• Analyse canonique des corrélations
• Analyse canonique généralisée
• Analyse des données
• Exploration de données

Liens externes

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