Courbe de la crêpe

En mathématiques, la courbe de la crêpe est une courbe en trois dimensions étudiée par William Kingdon Clifford. Son nom vient de la forme d'une crêpe lancée avec une poêle.

Équations

Une paramétrisation cartésienne possible est :

$\{\begin{array}{cc}x& =a\cos (t)\\ y& =a\sin (t)\\ z& =b\sin (2t)\end{array}$

C'est donc une courbe biquadratique rationnelle.

Définitions

La courbe de la crêpe possède trois définitions : elle est l'intersection d'un cylindre de révolution $r=a$ avec

• un paraboloïde hyperbolique de même axe que le cylindre $a^{2}z=2bxy$
• un conoïde de Plücker de même axe $z=\frac{2bxy}{x^2+y^2}$
• un cylindre parabolique de droite sommitale perpendiculaire à l'axe du cylindre $a^{2}z=b(2x^2-a^2)$.

• 
  avec le paraboloïde hyperbolique
• 
  avec le conoïde de Plücker
• 
  avec le cylindre parabolique

Propriétés

• La courbe de la crêpe est une couronne sinusoïdale.
• La projection de la courbe sur un plan orthogonal à l'axe du cylindre donne un cercle ; les projections sur les plans d'équations $(x=0)$ et $(y=0)$ donnent des lemniscates de Gerono isométriques ; les projections sur les plans d'équations $(x+y=0)$ et $(x-y=0)$ donnent des portions de parabole.

Voir aussi

• Lemniscate de Gerono